2 Soit xi(ep,m ) la demande marshallienne de bien i du consommateur et v(ep,m ) son utilité indirecte En partant de l’égalité v(ep,e (p,e u)) = u, et en utilisant le lemme de Shepard, montrer que : xi(p,me ) = ? ?v(p,me ) ?pi ?v(p,me ) ?m ?i = 1, ,n où m = e(p,e u) Cette propriété porte le
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Exemple: une fonction d’utilité Cobb-Douglas En posant les conditions de K-T, déterminer la demande marshallienne associée aux préférences représentées par la fonction d’utilité suivante: U(x 1,x 2) = x 1 ?x 2 ? Sachant que: - Le consommateur ne peut consommer
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Ce programme permet d'obtenir les fonctions de demande x = x(p, R) On peut donc réécrire la fonction d'utilité U(x) = U(x(p, R)) = V(p, R) La fonction V(p, R) est appelée fonction d'utilité indirecte Elle indique le niveau maximum d'utilité que le consommateur peut atteindre étant donnés les prix des biens et son revenu En d'autres termes :
EP ZZZ 2010 Annexe 3 quelques fonctions.pdf
conduit aux fonctions de demande Marshallienne : C0 = c0 [1 + r,1,(1 + r)Y0 + Y1] C1 = c1 [1 + r,1,(1 + r)Y0 + Y1] On obtient également l’épargne réelle par : S= Y0 ?C0 = Y0 ?c0 [1 + r,1,(1 + r)Y0 + Y1]
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d) Les fonctions de demande sont conventionnellement écrites : (), demande marshallienne, demande hicksienne ii ii qgxp qhup = = (1) La dernière est appelée aussi demande « compensée » ; (2) Leur dérivation à partir de la fonction?objectif constitue le corps du système
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ousV pouvez véri er que cette fonction est homogène de degré 1 La dualité Pour rappel, nous avions dérivé les fonctions de demande marshallienne pour les biens 1 et 2 suivantes : ¢¤ ¤¤ ƒ ¤¤¤ ? x 1(p 1;p 2;R)= + R p 1 x 2(p 1;p;R)= + R p 2 On peut en déduire la fonction d'utilité indirecte : v(p 1;p 2;R)=U(x 1(p 1;p 2;R);x 2(p 1;p 2;R) = + R p 1 + + R p 2 3
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Le modèle de demande basé sur une fonction d’utilité de Cobb ?Douglas Un modèle de demande basé sur une fonction d’utilité indirecte On parle alors de fonction de demande marshallienne, qui a comme arguments les prix des différents biens, le revenu du consommateur et d’autres éléments liés aux préférences du consommateur Celui?ci peut aussi déterminer la
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Exercice 13 Déterminer le comportement de demande marshallien d’un consommateur dont les préférences pour deux biens sont représentées par la fonction d’utilité U(x1,x2)=(1+x1)(2+x2) 2 (a) Les correspondances de demande Marshallienne sont-t-elles toujours des fonctions ? (b) Déterminer la fonction d’utilité indirecte, la fonction de dépenses et les correspondances de demandes
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Détermination de la fonction d'utilité indirecte A partir d'une fonction d'utilité u (x 1, x 2, , x n), on peut calculer les demandes optimales x 1 (p, R), x 2 (p, R), , x n (p, R) qui sont fonctions du prix et du revenu On en déduit alors la fonction d'utilité indirecte : Exemple : Deux biens -
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c) Quelle est la fonction d’utilitØ indirecte du consommateur 2 ? d) Utilisez l’identitØ de Roy pour retrouver les fonctions de demande du consommateur 2 à partir de la fonction d’utilitØ indirecte calculØe en c) e) Pour le consommateur 2, à quoi correspond le prix relatif personnel du bien x1 exprimØ en terme du bien x2? Calculez les prix relatifs personnels dans les cas particuliers oø il
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