Comment expliquer l'algèbre ?
L'algèbre est une branche des mathématiques qui représente les problèmes sous forme d'expressions mathématiques, en utilisant des lettres ou des variables (c'est-à-dire x, y ou z) pour représenter des valeurs inconnues qui peuvent changer.
Qui a créé la géométrie ?
Euclide est un grand mathématicien de l'Antiquité et il est souvent appelé le père de la Géométrie.
Quel est le rôle de la géométrie ?
La géométrie tient un rôle capital dans le processus de conception.
Les architectes utilisent la géométrie pour étudier et diviser l'espace ainsi que pour dessiner les plans détaillés d'un bâtiment.- Al-Khwarizmi était un mathématicien, astronome et géographe persan du IXe siècle.
Il est souvent considéré comme le père de l'algèbre et le terme « algèbre » lui doit son nom.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
Gourdon-algebrepdf
Cours d'algèbre Maths1 LMD Sciences et Techniques Par M Mechab
ÉLÉMENTS D'ANALYSE ET D'ALGÈBRE
Sémiologie Cardiologique
CARDIOLOGIE
Collège National des Enseignants de Cardiologie
Cardiologie
CARDIOLOGIE
ALGéBREETGOMTRIEFranoisCOMBESProfesseurdeMathmatiqueslÕUniversit dÕOrlansAVANTPROPOSenLicencede Mathmatiques.Lecontenu decetensei gnementdcoulaitlui-mme desexigencesdespr ogrammesdesConcours duCAPESetdelÕAgrgationde Mathma-tiqueauxquelsla grandemajoritdes tudiantsdece cursussedestinaient.quenousavons mentionns,incluantde nombreuxexemples etexercices dÕapplica-tion.Ilintr oduitlesnotions algbriquesdegroupe(partieI) etdÕanneau(p artieIII).IllesutilisedÕune partdans lecadre delagomtrie afÞneet delagomtrie euclidienne(partieII),et dÕautrepart enthoriedes nombres(partieIV),chapitres importants danslaformationdes futursenseignants.Lesfondementsde lagomtrie afÞnene sontplusenseigns danslesPremiersCyclesUniversitaires oilafallufaire placede nouvellesdisciplines.CÕest dansledegr oupeestpartoutsous-jacenteengomtrie.
Elleytr ouvedÕinnombrablesillustra-tionsetapplications.DepuisF.Klein etH.Poincar, lesgomtries,euclidiennes ouEngomtrieplane euclidienne,apparaissent diversgroupes classiques:gr oupedeshomothtiesettranslations, groupedes isomtries,groupe desdplacements,groupedessimilitudes, dont lastructur edoittr econnue.Parailleurs, lancessitdedcouperles cursusenUnits dÕenseignementspa-res,cre artiÞciellementunedivisiondesmathmatiquesen disciplinesquelÕon atendanceconsidr ercommedes domainesdisjoints.Or,danslaralit, ethistorique-exemple,cÕestle dveloppementde lÕanalysequia provoqula naissancedela gom-trieanalytique au17eeebriqueau20echaquediscipline apportantsesoutilslÕautre :preuve gomtriquede lÕexistencedesolutionspour desquationsdiophantiennes enarithmtique,dmonstration al-etaucompas (quadrature ducercle, contructiondespolygonesrguliers, ), etc.vrage,nousavons volontairementlimit lecontenuaux notionsÞgurantexplicitementdansles programmesdesConcoursder ecrutementdesenseignantsduSecond Degr:groupescycliquesetabliens,gr oupesymtrique,gr oupesdetransformations gom-triquesclassiques,anneau despolynmes,applications classiqueslÕarithmtique, lathorie desnombresLespartiesde celivre quinesont pasexplicitementau programmeduCAPESdeMathmatique,etqui concernentpluttl aprparation lÕAgrgation,apparaissentfactoriels.C.POP, J.F.HA VET,J.
P.SCHREIBERqui mÕontaccord beaucoupdetempspourmÕaider surmonterles difÞcultspratiques lieslÕutilisationdeslogiciels, etquimÕontfait lecadeaule plusprcieuxpour unmathmaticien: desexemplesint-ressants,desremarques originales,quiont enrichicetouvrage.Jeremer ciegalementlesEditionsBREAL,quiontaccept depublierce livre,etVERSIONNUMRIQUERE VUEETCORRIGEJ.F.H AVETMAI2015IGROUPES91Lacatgorie desgroupes111.
1) FactorisationdÕune application. 111. 2) Loide compositioninternesur unensemble. 131. 3) Notionde groupe. . 151. 4) Homomorphismesde groupes. . 161. 5) Sous-groupes . 181. 6) Noyauet imagedÕunhomomorphisme 201. 8) Groupe quotient 231.9) Factorisationdes homomorphismes 241.10Pr oduitdirectdegroupes . . .251.11Caractrisationdu produit direct. . . 261.12Procd desymtrisation .271.13Sous-groupes deZetdeR 281.14Sous-groupe engendrparunlment. 301.15Exercices duchapitre1. . 312Actionsde groupes392.
1) Groupe agissantsurunensemble .392. 2) Orbite,stabilisateur dÕunpoint. .412. 3) ActiondÕun groupeÞni surunensemble Þni 432. 6) Produits semi-directs . .472. 7) Caractrisationdes produits semi-directs. . . 482. 8) Exercices duchapitre2 .503Groupesabliens Þnis593. 1) Groupes cycliques,gnrateurs 593. 2) Homomorphismesentr egroupes cycliques .603. 3) Sous-groupes dÕungroupecyclique . 623. 4) Produit dedeuxgroupescycliques. . .633. 5) Groupes dÕordrepremier. .643. 6) Dcomposition cycliquedÕungr oupeablienÞni . 653. 7) Groupes rsolubles 693. 8) Exercices duchapitre3 . .7154Legroupe symtrique794. 1) DcompositiondÕune permutationencycles 794. 2) Cycles conjugus .804. 3) Gnrateursdu groupe symtrique . 814. 4) Signature dÕunepermutation .814. 5) Nonrsolubilit dugroupe despermutations. . .834. 6) Exer cicesduchapitre4. . 845Sous-groupesde Sylow915. 2) Structur edequelquesgroupesÞnis 945. 3) Groupes dÕordre8 .965. 4) Exercices duchapitre5 .97IIGEOMETRIE1036Gomtrieaf Þne1056. 1) Espaceaf Þneassoci unespacevectoriel 1056. 3) Applicationsaf Þnes. . .1096. 4) ExistencedÕapplications afÞnes . .1116. 5) Isomorphismesaf Þnes . .1126. 6) Sous-espacesaf Þnes. . .1146. 7) Sous-espacesaf Þnesendimension Þnie 1156. 8) Sous-espacesaf Þnesetapplications afÞnes . 1176.9) Gr oupeafÞne . 1186.10Groupe deshomothtiesettranslations 1206.11OrientationdÕun espaceafÞne rel 1216.12Exercices duchapitre6 . .1237Barycentresen gomtrieafÞne 1337.
1) Barycentres 1337. 2) Applicationsaf Þnesetbarycentr es 1357. 3) Sous-espacesaf Þnesetbarycentr es 1367. 5) Espaceaf ÞnehyperplandÕun espacevectoriel .1397. 6) Parties convexesdÕunespace afÞnerel 1417. 7) Enveloppeconvexe dÕunepartie. 1437.8) Pointsextrmaux dÕunepartieconvexe 1437.11Exercices duchapitre7 . .1488Gomtrieaf Þneeuclidienne1538.
1) Espacesaf Þneseuclidiens . .1538. 2) Rappelssur legroupe orthogonal . .1548. 3) Isomtriesaf Þnes . .1568. 4) Symtriesorthogonales 1578. 5) Symtriesglisses .1598. 6) Isomtriespr oduitsdesymtries hyperplanes 16068. 7) Groupe desisomtriesdeEn1628. 8) Dcompositioncanonique dÕuneisomtrie. 1638.9) ClassiÞcationdes isomtriesdu plan 1648.10ClassiÞcationdes isomtriesde lÕespace 1668.11Groupe dessimilitudes 1708.12Sous-groupes Þnisdugroupedes dplacements . 1718.13Exercices duchapitre8 . .174IIIANNEAUX1879Gnralitssur lesanneaux1899.
1) Les objetsdecette catgoriemathmatique. 1899. 2) Les morphismesdanscette catgoriemathmatique. 1929. 3) Lessous-anneaux 1949. 4) Sous-anneau engendrparune partienonvide .1959. 5) IdauxdÕun anneau .1959. 6) Intersectionet sommedÕidaux .1969. 8) Idauxmaximaux 1999.9) Corps .2009.11Quotientpar unidalmaximal .2049.12Sous-corpspr emierdÕuncorps . .2059.13Exercices duchapitre9. . 20610Anneauxde polynmes21310.
1) Polynmes coefÞcientsdans unanneau. . 21310. 2) Divisioneuclidienne .21510. 3) Fonctionpolynomiale etracines dÕunpolynme. .21610. 4) Driveformelle dÕunpolynme,formule deTaylor .21710. 5) MultiplicitdÕune racine. .21810. 6) Unexemple: lespolynmescyclotomiques 21910. 7) Groupe KlorsqueKestuncorps commutatif 22110.8) Lepolynme dÕinterpolationde Lagrange 22410.10Exercices duchapitre10 22611Anneauxprincipaux 23711.
1) Idauxprincipaux, anneauxprincipaux. .23711. 2) Exemplesclassiques: lesanneauxeuclidiens 23811. 3) EntiersdÕun corpsquadratique .24011. 4) Divisibilitdans unanneauprincipal .24111. 5) Dcompositionen facteursirrductibles. .24411. 6) Anneau desentiersde Gauss 24611. 8) Quotients danslesanneaux principaux 25011. 9) Exercices duchapitre11. . .2527IVThoriedes nombres26112Arithmtique26312. 1) Congruences, anneauZ/nZ 26312. 3) Rsidusquadratiques .26712. 4) Nombres premiers . 26912. 5) Nombres deMersenne,nombresde Fermat . .27012. 7) Equationsdiophantiennes .27312. 8) Exercices duchapitre12 27713Nombresalgbriques 28913. 3) Nombres transcendants 29213. 4) Lecorps desnombr esalgbriques. . .29413. 7) Exercices duchapitre13 . 30114Anneaux factoriels30714. 1) Unegnralisation desanneauxprincipaux 30714. 2) Polynmes primitifs 31014. 3) Irrductibilitdes polynmes. .31114. 4) Anneau despolynmessur unanneaufactoriel .31214.6) Irrductibilitdes polynmescyclotomiques .317INDEX3198GROUPES9Chapitre1Lacatgoriedes groupes1.
1) FactorisationdÕune applicationDÞnition.Onappeller elationdÕquivalencesur unensemblenonvideE,uner elationbinaireRsurEvriÞantlesconditions suivantes:a)"x#ExRx(rßexivit),b)"x#E"y#ExRy$yRx(symtrie),c)"x#E"y#E"z#E(xRyetyRz)%xRz(transitivit).LapartieCx={y#E|xRy}deEestappelela classedÕquivalencemoduloRdex.Pourtout z#Cyonaz#Cxy&Cx.Commeles conditionsx#Cyety#Cxx&CyetdoncCx=Cy.Ilen rsultequetout x#EappartientlÕune despartiesde lafamille (Cxx#Eetune seule.LesclassesdÕquivalenceconstituent unepartition deE.NotonsP(E)lÕensembledesparties deE.Lafamille (Cxx#Econstitueunsous-ensembledeP(E)appellÕensemblequotientde EparR.Onle noteE/R.Danslasuite,l aclassede x#Eseravuee ssentiellementcomme lmentdecenouvelensembleE/Retseranote x.LÕapplicationcanonique j:x'(xestsurjectivedeEsurE/R.ConsidronsuneapplicationfdeEdansunensemble F.Soit(x,y)#E)E.Po-sonsxRfysietseul ementsi f(x)=f(y).OndÞnit ainsiuner elationd ÕquivalenceRfsurE.Ellepartage EenclassesdÕlments ayantlamme imageparf.Pourlasurjection canoniquej:E(E/Rconsidreprcdemment,on aRj=R.Proposition.ConsidronsunerelationdÕquivalence RsurlÕensembleE,uneapplication fdeEdansunautr eensembleFconstantesurtoute classedÕquivalencex.Ilexiste alorsuneapplicationfdeE/RdansF,unique,telle quef*j=f.Ona Im(f)=ImfLÕapplicationfestinjectivesi etseulementsi R=RfDmonstration.Laconditionf*j=fimposelavaleur f(x)=f(x)pourtoutlmentxdeE/R,dÕolÕunicit def.LÕexistencetientaufaitque festconstantesur touteclassex.Lavaleur f(x)nedpendquede x#E/Retnondu reprsentantparticulier xdelaclasse x.Ilexiste1112CHAPITRE1.
LACATGORIE DESGROUPESdoncuneapplication fbiendÞniede E/RdansFtellequef(x)=f(x),cÕest--diretellequef*j=f.Ona videmmentIm(f)=ImfEnÞn,festinjectivesi lesconditions f(x)=f(y)etx=ysontquivalentes.Orx=y$xRyetf(x)=f(y)$f(x)=f(y)$xRfy.Doncfestinjectivesi etseulementsi R=RfDÞnition.Onditque fsedduitde fparfactorisation,ou parpassageau quotient.Corollaire.Soitf:E(Funeapplication.Elle admetla dcompositioncanoniquef=i*f*joj:E(E/Rfdsignelasurjection canonique,of:E/Rf(f(E)estbijectiveeto i:x'(xestlÕinjectionnatur elledef(E)dansF.Exercice1.SoitRunerelation binairesurunensemble E.Onappelle graphedeR,lapartie GR={(x,y)#E)E|xRy}deE)E.Quellesproprits deGRtraduisentlefait queRestuner elationdÕquivalence?Quedire dÕunerelationdÕquivalencequi estaussiune relationdÕordre?SiE=[0,3[,dessinerle graphedela relationbinair ex+y(mod1).Solution.Larßexivit( "x#ExRx)signiÞeque GRcontientladiagonale ]={(x,x);x#E}.Lasymtrie esttraduitepar lÕinvariancedeGRdanslasymtrie(x,y)'((y,x)parrapport ladiagonaleLatransitivit delar elationRsigniÞequesi deuxpointsM=(x,y)etN=(y,z)dugraphe,sont telsqueÒlÕordonneÓydeMetÒlÕabscisseÓde Nsontgales,alorsP=(x,z)estluiaussi lmentdeGRLarelation dÕquivalenceRnepeut treune relationdÕordreque siGR=],cÕest--diresilesclassesdÕquivalence sonttoutesponctuelles. (RestlÕgalit. )Exercice2.Soientf:X(Yetg:X(Zdesapplicationssurjectives.MontrerqueRf=Rgsietseulement sÕilexiste unebijectionudeYsurZtellequeg=u*f.Solution.SÕilexisteu:Y(Zinjectivetelle queg=u*f,pourtout x#Xettouty#XonaxRgy$g(x)=g(y)$u(f(x))=u(f(y))$f(x)=f(y)$xRfyDoncRf=Rg.Rciproquement, supposonsqueRf=Rg.Dsignons parjlasurjectioncanoniquede XsurX/Rf=X/Rg.Lesdcompositions canoniquesdefetgdonnentdesbijections f:X/Rf(Yetg:X/Rg(Ztellesquef=f*jetg=g*j.Alors u=g*f,1estunebijection deYsurZtellequeu*f=(g*f,1)*(f*j)=g*j=g.1.2.LOIDE COMPOSITIONINTERNESUR UNENSEMBLE131.
2) Loi decompositioninterne surunensembleDÞnition.Onappelleloi decompositioninterne, ouopration,sur unensembleE,uneappli-cation(x,y)'(x]ydeE)EdansE.Cetteoprationest ditecommutativesix]y=y]zpourtoutx#Eettouty#E.Elleestdite associativesi(x]y)]z=x](y]z)pourtousx#E,y#E,z#E.SÕilexistee#Etelquee]x=xpourtoutx#Eonditque eestneutregauche.SÕilexistee#Etelquex]e=xpourtoutx#Eonditque eestneutredroite.Onditque e#EestneutresÕilestneutr egauche etneutredroite.SilÕoprationest noteadditivement,lÕlment neutrese note0et sÕappellele zro.Ondit quea#Eestrguliersipour toutx#Eetpourtout y#E,(a]x=a]y)%(x=y)etsi(x]a=y]a)%(x=y).Danslasuite, uneloide compositioninternesera leplussouvent note(x,y)'(xy(notationmultiplicative) ou(x,y)'(x+y(notationadditive).La notationaddi-tivenÕestemployequedansdescasolÕoprationestcommutative(maispastoujourscommelemontr elÕexempledu produitdansRouC).Sie#Eestneutre gaucheetsie#Eestneutre droiteona e=ee=e.Alorse=eestunlment neutre.SÕil existeunlment neutre,ilestdoncunique.SupposonsquelÕop rationsoitassociative etquÕilexisteunlmentneutr ee.Soitn#N.Onnote xn(ounxsilÕoprationest noteadditivement),lÕlment esin=0,lÕlmentxáááxproduit(ousomme)de xparlui-mmenfoissi n>0.Six#Eadmetuninversegauche y(telqueyx=e)etun inversedr oitez(telquexz=e),alorsy=zcary=ye=y(xz)=(yx)z=ez=z.CetlmentydeEvriÞedoncles relationssuivantes,yx=xy=e,etilestleseullesvriÞer.OnlÕappellelÕinversedexetonlenotex,1.Silesnotationssontadditives,on lÕappellelÕopposdexetonle note,x.Ona (x,1,1=x.Six,y#Esontinversibles,alors xyestinversibleet (xy),1=y,1x,1.Enef fet,(y,1x,1)(xy)=y,1(x,1x)y=y,1ey=y,1y=e,etona demme(xy)(y,1x,1)=e.Enparticulier, x2estinversibleet apourinverse (x,12quelÕonnote x,2.Parrcurrencesurk#N,onvoit quexkadmetpourinverse lÕlment(x,1k,quelÕonnotex,k(ou,kxennotationadditive).DÞnition.OnditquÕune relationdÕquivalence RsurlÕensembleEestcompatibleavec uneloidecompositioninterne (x,y)'(x]ydÞniesurEsipourtous x,y,x,y#E,(1)xRxetyRy%(x]y)R(x]y14CHAPITRE1.
LACATGORIE DESGROUPESProposition.Silar elationdÕquivalence Restcompatibleavec lÕopration]surE,enposantxáy=x]yondÞnitune oprationsur E/R.Si]estassociative(r esp.commu-Six#Eestinversible,xestinversibledans E/R.Soninverse estlaclasse dex,1Dmonstration.Soit(a,b)#(E/R))(E/R).Ilexiste x#Eety#Etelsquex=a#Eety#Edesclassesaetb,onaxRxetyRy.Lacondition (1)montre quex]y=x]y.Ainsi,x]y#E/Rnedpendque deaetdebetnondes reprsentantsxetychoisis.Ilexiste doncuneapplicationbiendÞnie de(E/R))(E/R)dansE/Rtellequepour toutx#EetSi]estassociativesur E,ilen estdemme pourlÕoprationquotient car:(xáy)áz=(x]y)áz=(x]y)]z=x](y]z)=xá(y]z)=xá(yáz).Si]estcommutativeon axáy=x]y=y]x=yáxet(E/R,.)estcommutatif.Sie#Eestlmentneutr epour],pourtout x#E/Ronaeáx=e]x=xetdemmexáe=xdonceestneutre dansE/R.Six#Eauninverse y,dela relationx]y=y]x=eondduitxáy=yáx=edoncxapourinverse ydansE/R.Exercice1.EtudierlÕopration ]dÞniesurE=R\{,1}para]b=a+b+ab.Solution.Pourtouta#Eettoutb#Eonaa]b#E.En effet,si onavaita]b=,1soit(1+a)(1+b)=0,onaurait1+a=0ou1 +b=0,cequiest exclu.Donc(a,b)'(a]bestuneloi decomposition internesur E.Elleest commutativecarlÕexpressiondea]bestsymtrique enaetb.Elleest associative.Enef fet,lÕexpression(a]b)]c=a+b+c+ab+bc+ca+abcestinvariantepar permutationcirculair e.Enutilisantlacommutativit, onen dduit(a]b)]c=(b]c)]a=a](b]c).Pourtouta#E,ona a]0=adonc0est lmentneutre.
Tout a#Eadmetuninverse bcarlÕquationa+b+ab=0a unesolutionunique b=,a1+apuisquea.=,1.Exercice2.Soitf:x'(exp(2i]x)deRdansC.Montrer queRfestcompa-tibleaveclÕaddition deR.Etudier lÕoprationquotientsur R/RfSolution.xRfx$e2i]x=e2i]x$e2i](x,x=1$x,x#Z.Soientx,y,x,ytelsquexRfxetyRfy.On ax,x#Z,y,y#ZdÕo(x+y),(x+y)=(x,x)+(y,y)#Zetdonc(x+y)Rf(x+yAinsi,lar elationdÕquivale nceRfestcompatibleavec lÕaddition.La classedex#R,moduloRf,estx={x+k;k#Z}.Il existeunr eprsentantdecette classeetassociantxcereprsentant, estdoncunebijectionde E/Rfsur[0,1[quipermetdÕidentiÞerE/Rfavec[0,1[.LÕopration quotientestdÞnieparx+y=x+y.DanscetteidentiÞcation,elle devientlÕopration(s,t)'(s+t,E(s+t)sur[0,1[.1.3.NOTIONDE GROUPE151.
3) Notionde groupeDÞnition.Onappellegr oupeunensemble GmunidÕuneloi decomposition interneassociative,admettantunlment neutre,telle quetoutlment deGaituninverse.Sixy=yxpourtoutx#Gettouty#G,ondit queGestcommutatif,ouablien.Lecardinal deGsÕappellelÕordredugroupe Getseranot [G:1].Proposition.SoitGungroupe.(i)Pourtouta#G,latranslation gauchela:x'(axetlatranslation droitera:x'(xa,sontbijectives, dÕapplicationsrciproques la,1etra,1.(ii)Pourtouta#Gettoutb#Gonala*lb=labetra*rb=rba(iv)LÕlmentneutreeestle seulidempotentde G.Dmonstration.(i)et(ii) Lesr elations(ii)sont dueslÕassociativit :"x#Gla*lb(x)=a(bx)=(ab)x=lab(x)etra*rb(x)=(xb)a=x(ba)=rba(x).Avecb=a,1,onobtient la*la,1=le=IdG,puisla,1*la=IdGenremplaant apara,1.Donclaestbijectiveet (la,1=la,1.Demme (ra,1=ra,1.(iii)et(iv) LÕinjectivitde laetcellede radonnentlargularit delÕopration :(ax=ay)%(x=y),(xa=ya)%(x=y).Enparticulier,pour toutx#G,x2=x$xx=xe%x=e.Exercice.Entudiant satablede multiplication,montrer quÕungroupe GdÕordre2ou3 nepeutavoir quÕuneseulestr ucture.Solution.Soiente,a,ou e,a,b,leslments deG,o eestneutre.
DanslatabledemultiplicationdeG,la ligneetla colonnedeesontimposescar eestneutr e:eaeeaaa.eabeeabaabba:x'(ax,estune permutationdeslmentsde G(prop.1-3).Ilen estdemme pourtouteligne ettoutecolonne.
Ilexisteune seulefaonde complterchacundes tableauxci-dessus,chaque lmentdeGapparaissantunefois etune seuledanschaque ligneetdans chaquecolonne:eaeeaaaeeabeeabaabebbeaSÕilexisteune loidegr oupesurG,elleest doncunique etellene peutavoirque latabledemultiplicationci-dessus.
CettetabledÞnit effectivementune loidegr oupecar onretrouvelatabledÕungroupeconnu, parexemplede Z/2Z(resp.Z/3Z).16CHAPITRE1.
LACATGORIE DESGROUPES1.4) Homomorphismesde groupesDÞnition.SoientG,Gdeuxgroupes, dÕlmentsneutreseete.Onappelle homomorphisme(oumorphisme)de GdansG,uneapplication fdeGdansGtelleque(1)"x#G"y#Gf(xy)=f(x)f(y).Lesous-ensembleKer (f)={x#G|f(x)=e}deGestappelle noyaudef.OnnoteHom (G,G)lÕensembledeshomomorphismes deGdansG.Ilexiste aumoinsun homomorphismedeGdansG:lÕhomorphismetrivial f0:x'(eUnhomomorphisme deGdansGestappelun endomorphismedeG.OnnoteEnd(G)lÕensembledesendomorphismes deG.Onditque f#Hom(G,G)estunisomorphisme,sÕilexiste g#Hom(G,G)telqueg*f=IdGetf*g=IdG-.Ilsuf Þtpour celaquelÕhomomorphismefsoitbijectif.Enef fet,enappliquant f,1auxdeuxmembr esde larelation(1),onvoit quef,1#Hom(G,G).SÕilexiste unisomorphismede GsurGonditque lesgr oupesGetGsontisomorphes.Nous crironsG/Gpourtraduire cela.OnappelleautomorphismedeG,unisomorphisme deGsurG.Onnote Aut(G)lÕensembledesautomorphismes deG.Pourtoutx#G,lÕapplicationAdx:y'(xyx,1estbijectivede GsurG,dÕapplicationrciproque Adx,1:y'(x,1yx.CÕestun homomorphismecar"y#G"y#GAdx(yy)=xyyx,1=xyeyx,1=xyx,1xyx,1=Adx(y)Adx(yUntelautomorphisme Adx:y'(xyx,1deGestappelun automorphis