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Fonctions mesurables et intégration

Comment savoir si une fonction est mesurable ?
Si f : (Rd, B(Rd)) → (Rd , B(Rd )) est continue, alors elle est mesurable.
Démonstration.
Comme B(Rd ) est engendrée par les ouverts de Rd , il suffit par le lemme de montrer que f−1(O) ∈ B(Rd) pour tout ouvert O de Rd .
Or ceci est évident puisque par continuité f−1(O) est ouvert, donc borélien.
Pourquoi une fonction continue est mesurable ?
.
1) Soient (X,d) un espace métrique (par exemple R), et f : X → R une fonction continue.
Pourquoi f est-elle mesurable? Réponse: Pour tout ouvert O de R, f−1(O) est ouvert (car f continue), donc mesurable.
Comme l'ensemble des ouverts de R engendre la tribue borélienne, f−1 est continue.
Comment montrer qu'un espace est mesurable ?
On dit que f est mesurable (ou A − B mesurable) si f−1(B) ∈ A pour tout B ∈ B, c'est-à-dire, si σ(f) = f−1(B) ⊂ A .
On dit que f est borélienne si B est une tribu borélienne.
Si f est Riemann- intégrable sur [a, b], alors f est Lebesgue-intégrable sur [a, b], et les deux intégrales sont égales. f(x) = { 1 si x ∈ Q, 0 sinon.
Cette fonction est nulle presque partout, donc elle est intégrable d'intégrale nulle au sens de Lebesgue.

Pour toutes fonctions mesurables f, g: X → R intégrables sur une partie mesurable A ⊆ X on a 1. ∫A 1dµ = µ(A) ; 2. pour toutes constantes réelles α et β, la fonction αf + βg est également mesurable et intégrable sur A et ∫A(αf + βg)dµ = α ∫Afdµ + β ∫A gdµ (linéarité de l'intégrale);

Fonctions mesurables et intégration

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Pourquoi une fonction continue est mesurable ?

Comment montrer qu'un espace est mesurable ?