Comment calculer une algèbre de type fini ?
Pour être tout-à-fait explicite, Best une A-algèbre de type fini s’il existe des éléments x 1;:::;x nde B tels que tout élément de Bpuisse s’écrire P(x 1;:::;x n), où Pest un polynôme en nvariables à coefficients dans A. De façon équivalente, la A-algèbre Best quotient d’un algèbre de polynômes A[X 1;:::;X n].
Comment savoir si une algèbre est finie ?
Une telle algèbre est bien sûr de type fini, mais la réciproque est fausse en général : si An’est pas nul, la A-algèbre A[X] est de type fini, mais n’est pas finie. Définition 8.2. — Soit Aun anneau et soit Bune A-algèbre. a) On dit qu’un élément xde Best entier sur As’il existe un polynôme unitaire P 2A[X] tel que P(x) = 0.
Comment calculer l’algèbre commutative ?
Commençons par un peu d’histoire. On peut dire en première approximation que les débuts de l’algèbre commutative sont dus à diverses tentatives de résoudre la conjecture de Fermat : xn+ yn= zn=)xyz= 0; pour x, y, zentiers et n>3. Il suffit de traiter les cas n= 4 (une démonstration a été laissée par Fermat) et n= p, nombre premier impair.
Quelle est la propriété de la décomposition en algèbre ?
sest une autre telle décomposition, on a r= set il existe une permutation ˙2S rtelle que qisoit associé à p ˙( )pour tout i. La plupart des anneaux intègres que l’on rencontre en algèbre ont la propriété d’existence de la décom- position (cf. prop. 2.4); la propriété forte est l’unicité.
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