Quelle est la relation entre la contrainte et la déformation ?
La première réponse d'un matériau à la contrainte est la déformation élastique.
Quand la contrainte est relachée, le matériau reprend sa forme et son volume initial, comme la bande élastique que l'on étire ou la balle de tennis frappée par la raquette.Comment calculer la contrainte d'une barre ?
La contrainte normale constante dans la section vaut σ = F/S et la déformation vaut ε = F/ES.
Comment déterminer le module d'élasticité ?
Le module d'élasticité sécant est égal à la contrainte divisée par la déformation en un point quelconque.
Il est aussi appelé « rapport de contrainte déformation ».
Le module d'élasticité tangent est égal au module d'élasticité sécant jusqu'à la limite de proportionnalité du matériau.- Les déformations d'un objet physique s'observent par un changement de forme de celui-ci et/ou de variation dans ses dimensions.
Les déformations sont sans unités.
Des définitions plus précises de ces deux notions fondamentales en RDM viendront plus tard dans ce manuscrit.
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Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeModule #2Contraintes & Deformations(CIV1150 - Resistance des materiaux)Enseignant: James-A.
GouletDepartement des genies civil, geologique et des minesPolytechnique MontrealSections 2.1-2.13 { R.
Craig (2011)Mechanics of Materials, 3rd EditionJohn Wiley & Sons.P. Leger (2006)Notes de cours: Chapitre 2 { DeformationsPolytechnique Montreal.Enseignant: J-A.GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 1/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeDenition { contrainte normaleContrainte moyenne normale,=FA=force normale (i.e. perpendiculaire) a la surfacesurface sur laquelle elle agitUnites:IPascal:Pa=N=m2IMegapascal:MPa=N=mm2= 106N=m2I6895Pa= 1lb=in2= 1psiSignes: + (tension), - (compression)+Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 4/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeContraintes v.s. contraintes moyennesContrainte moyenne normaleContrainte moyenne normale: egale pour toutes les sectionsEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 5/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeExemple { contraintes normalesContraintes normales - exempleSoit une barre ayant une section de 35mm par 10mm tel queEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 6/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeExemple { contraintes normalesContraintes normales - exemple (cont.)La charge maximale se trouve sur la section BC;F= 30kN=FA=30103N3510mm2= 85:7MPa+Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 7/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeDenition { Deformations axialesDeformations axiales -Denition:=longueur nalelongueur initialelongueur initiale=LLL=LLUnites: m/m, mm/mm, in/in,(microdeformation= 106)Signe: + Allongement - retrecissement+Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 8/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeDeformations thermiques 1DDeformations thermiques - 1DDenition:T=(TnaleTinitiale) =TUnites ():mm=mm=oC==oCCoecient d'expansion thermique(ref.
Annexe F-4):IAcier:= 12106=oCIAluminium:= 21 a 24106=oCIBeton:= 10106=oCEnseignant: J-A.GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 10/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeDeformations thermiques 1DDeformations thermiques 1D { exemple cas iso.3mITinitiale= 20oCITnale= 10oCI= 12106=oCCalculerT,TetTDeformation:T=(TnaleTinitiale) =T= 12106=oC 10oC=12105Deplacement:T=TL=121053000mm=0:36mmContrainte:T= 0?!Module 3 { structures hyperstatiquesEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 11/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeDeformations thermiques 3DDeformations thermiques - 3DLxT= (T)LxLyT= (T)LyLzT= (T)LzEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 12/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeRelation entre contraintes () et deformations ()Diagrammes contraintes-deformations,=f()Contraintes: Eet desfo rcesinternes sur le mat eriauDeformations: Eet desd eplacementsinternes sur le mat eriauLa relation entre les contraintes et les deformations est decrite parlediagramme contrainte-d eformationd'un mat eriauEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 14/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeRelation entre contraintes () et deformations ()Essais en laboratoiresLediagramme contrainte-d eformationest obtenu en lab oratoireL0: Longueur initialeA0: Aire initialeL=LL0=FA0=LL0Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 15/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeMateriau { AcierDiagramme contraintes-deformations { AcierYielding : plasticationHardening : ecrouissageNecking : amincissementPL: Limite de proportionnalite(YP)l: Limite elastique (y,fy)(YP)u: Limite elastique superieureU: Contrainte ultimeF: Contrainte de ruptureFt: Contrainte de rupture reelleModule elastique/de YoungE=; < PL(E: propriete intrinseque)Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 16/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeMateriau { AcierDiagrammes contraintes-deformationsEssai de traction(Acier)Essai de compression(beton)Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 17/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeMateriau { AcierLimite elastique - Beton et aluminiumEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 18/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeMateriau { BetonDiagrammes contraintes-deformations { Beton(26)(MPa)(21)(14)(6.89)Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 19/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeMateriau { elasticiteElasticiteComportement elastique(non lineaire)Comportement elastoplastiqueEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 20/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeMateriau { elasticiteElasticite - Modele courantComportement elastique,parfaitement plastiqueAcier courantIE= 200000MPa=200GPaIy= (300;350)MPaIy0:0012M^eme comportement entraction et en compressionEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 21/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeMateriau { elasticiteRigidite &Elasticitek: Coe. de rigidite [kN/m]F=kE: Module elastique [MPa]=E=FA=EEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 22/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeMateriau { elasticiteRigidite &Elasticite { exempleF=kmg=kk=mg=13:8kg9:81m=s21mm= 135N=mm=FA=409:812:52= 20Nmm2= 20MPa=L=2:9mm10000mm= 2:9104=EE==20MPa2:9104= 70000MPaEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 23/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeElasticite lineaire { loi de HookeLoi de Hooke=EMateriaux E[MPa]Aluminium 70000Beton (compression) 30000Acier 200000Bois (anisotrope) 12000La relation entre la contrainte et la deformation est quasi-lineairepour le domaine elastique des materiaux du genie civilEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 25/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeElasticite lineaire { coecient de PoissonCoecient de poissonDeformation longitudinalex=xE!x=xE: Coecient de Poissontransv.=long.Deformations transversalesy=z=x=xEEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 26/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeElasticite lineaire { coecient de PoissonCoecient de poisson - Exempletransv.=0:025mmlong.= 0:5mmE=?; =?Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 27/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeElasticite lineaire { coecient de PoissonCoecient de poisson - Exempletransv.=0:025mmlong.= 0:5mm=E; =transv.long.I=FA=875N1025mm2= 3:5MPaIlong.=LL=0:5mm200mm= 0:0025mm=mmIE==3:5MPa0:0025mm=mm= 1400MPaItransv.= largeurlargeur=0:025mm25mm=0:0010mmI=transv.long.=0:00100:0025= 0:4Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 28/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeElasticite lineaire { coecient de PoissonCoecient de poisson - Valeurs typiques0.50.300Matériaux communsMatériauxarticiels(auxétique)0.
2) Enseignant: J-A.GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 29/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeContraintes de cisaillementContraintes de cisaillement: Contrainte de cisaillementV: Force de cisaillementAS: Aire eective en cisaillement=VASEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 31/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeAssemblages boulonnesCisaillement pur { Assemblages boulonnesj: Contrainte de cisaillementV: Force de cisaillementAS: Aire eective en cisaillement=VASEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 32/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeAssemblages boulonnesAssemblages boulonnes { exempleDiametre des boulons:dCalculerpour lesassemblages (a) et (b)?a)V=PAS=d24=4Pd2b)V=P=2AS=d24=2Pd2Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 33/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumePoinconnementCisaillement { Poinconnement, Loma Prieta, 1989=PdtEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 34/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeCisaillementCisaillement { Northridge, 1994Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 35/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeEquilibreConditions d'equilibre pourCisaillement purXFx= 0;XFy= 0;XMz= 0Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 36/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeEquilibreDeformation en cisaillement: Changement d'angle d^u aux contraintes decisaillement (eort tranchant)=2= tan1SLSuSLS|{z}theorie des petitesdeformations!Angles en radiansEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 37/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeEquilibreHypotheses - petits deplacements & deformationsHypothese: Les deplacements et deformations sont petits parrapport aux dimensions de la structureb= tan1BauBarad;pourb1radEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 38/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeEquilibreDeformation en cisaillement{ Exemplex=?; y=?; xy=?Enseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 39/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeEquilibreDeformation en cisaillement{ Exemplex=75:03mm75mm75mm= 0:0004y=50:03mm50mm50mm= 0:0006xy=0:03mm75:03mm+0:03mm50:03mm= 0:001uSLSEnseignant: J-A.
GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 40/63Intro&To=f()Hooke&PoissonCisaillementHooke-3DSt-VenantDimensionnementResumeModule de cisaillementLoi de Hooke et module de cisaillement: Contrainte de cisaillement: Deformation de cisaillementG: Module d'elasticite en cisaillement=GG=E2(1 +)Pour l'