Comment construire une norme sur l'espace vectoriel des applications linéaires continues ?
On va ainsi pouvoir construire une norme sur l'espace vectoriel des applications linéaires continues comme le montre le théorème suivant. Wikipédia possède un article à propos de « Norme d'opérateur ». L'ensemble des applications linéaires continues de dans est un e.v.n. pour la norme : dite norme subordonnée (aux normes choisies sur et ).
Comment caractériser la connexité à l'aide des fonctions continues ?
Commençons cette partie par une nouvelle caractérisation de la connexité à l'aide des fonctions continues. Proposition : Caractérisation de la connexité par les fonctions continues. est connexe si et seulement si toute fonction continue est constante. qui prennent des valeurs différentes sur chaque ouvert, et qui seront continues.
Qu'est-ce que la connexité par les fonctions continues ?
Proposition : Caractérisation de la connexité par les fonctions continues. est connexe si et seulement si toute fonction continue est constante. qui prennent des valeurs différentes sur chaque ouvert, et qui seront continues. Étudions maintenant la propriété fondamentale reliant la connexité et la continuité.
Comment montrer l'intérêt de la connexité ?
Le théorème suivant est l'un des premiers résultats montrant l'intérêt de la connexité : il nous dit que l'image d'une partie connexe par une application continue est connexe. Ceci permet de montrer assez facilement que certaines parties sont connexes. Il va également nous permettre d'obtenir sans efforts le théorème des valeurs intermédiaires.
Connexité
Dans un premier temps, nous allons étudier la notion de connexité. De manière intuitive, A {displaystyle A} sera une partie connexe si elle est en un seul morceau. Nous n'allons pas rentrer trop loin dans cette notion, qui est délicate à manipuler au premier abord, l'objectif étant d'introduire la notion et de donner une démonstration plus concept
Connexité Par Arcs
Nous allons maintenant nous intéresser à une notion un peu plus forte : la connexité par arcs. On introduit pour cela la notion d'arc, qui est une courbe reliant deux points pour faire simple. Une partie est alors connexe par arcs si, étant donnés deux points dans cette partie, on peut trouver une courbe reliant ces deux points sans sortir de cette
Convexité
Les notions de connexité et de connexité par arcs dépassent largement le cadre des e.v.n.. Cependant la structure algébrique d'espace vectoriel va nous permettre d'introduire une autre notion peut-être plus simple pour le lecteur débutant : la convexité.Géométriquement, A {displaystyle A} est convexe si tous les segments que l'on peut constituer à
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Normes Espaces Vectoriels Normés: définition et exemples
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[L2] Topologie des espaces vectoriels normés
