C'est quoi un cours d'analyse ?
C'est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction.
Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l'intégration.
Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes.Comment comprendre l'analyse mathématique ?
L'analyse comprend l'étude des limites, du calcul différentiel et du calcul intégral.
La limite est la valeur vers laquelle la fonction « tend » au fur et à mesure qu'elle se rapproche d'une certaine valeur.
Une suite est une collection d'éléments qui sont disposés dans un ordre particulier.Comment s'appelle une branche des mathématiques ?
Les mathématiques pures se divisent, en gros, en trois grandes disciplines : la géométrie et la topologie, l'algèbre et l'arithmétique, et enfin l'analyse.
Une quatrième branche vient les compléter, la logique.- La naissance de l'analyse fonctionnelle moderne peut être datée à 1907, entre la Hongrie, Göttingen et Paris, par les travaux quasi-simultanément publiés, complémentaires et se faisant écho de Frigyes Riesz (qui est hongrois), Ernst Sigismund Fischer (de Göttingen), et Maurice Fréchet (qui est français).
Cours dAnalyse Semestre 1
La démarche dAnalyse Fonctionnelle
étude des outils de simulation de réseaux électriques
Analyse spectrale et surveillance des réseaux maillés de retour de
ÉTUDE DES PROTECTIONS DES RÉSEAUX ÉLECTRIQUES MT
Etudie et protéger les réseaux électriques de transport
Chapitre I: Généralités Sur Les Réseaux Électriques Et Écoulement
Chapitre I Généralités sur les Réseaux de transport dénergie
Généralités sur les réseaux dénergie électrique
Par : Dr BOUHARIS Epouse OUDJDI DAMERDJI Amel U.S.T.O Ȃ M.B Année universitaire 2020-2021 Δ˰˰˰˰˰˰˰ϴΒόθϟΔ˰˰˰˰˰˰˰˰˰ϴρήϘϤϳΪϟΔ˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰ϳήΰΠϟΔ˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰ϳέϮϬϤΠϟ ϲϤ˰˰˰˰˰˰˰ϠόϟΚ˰˰˰˰˰˰˰˰˰ΤΒϟϭϲϟΎ˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰όϟϢ˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰˰ϴϠόΘϟΓέίϭ ϡϮϠόϠϟϥήϫϭΔόϣΎΟΎϴΟϮϟϮϨϜΘϟϭ ϤΤϣΪϑΎϴοϮΑ ϲϟϻϡϼϋϻϭΕΎϴοΎϳήϟΔϴϠϛ République Algérienne Démocratique et Populaire et de la Recherche Scientifique Faculté des Mathématiques et Informatique Département de Mathématiques Cours et exercices corrigés dAnalyse 1 Première année Licence MI Mathématiques et Informatique Table des matieres1 Le corps des nombres reels 61.
1) Denition axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1. 2) La valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1. 3) Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.4) Minorants, majorants, borne inferieure, borne superieure, maximumet minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.
5) La partie entiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1. 6) Caracterisation de la borne superieure et de la borne inferieure . . . .11 1. 7) Principe d'Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1. 8) La densite deQdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 1.9) La droite reelle achevee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 1.10 Enonces des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.11 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 2 Le corps des nombres complexes 262.
1) Representation algebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2. 2) Representation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.2. 1) Denitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2. 3) Representation trigonometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2. 4) Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 2. 5) Operations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 2.5. 1) L'addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 2.5. 2) Le produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 2.5. 3) Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 2.5. 4) Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 2. 6) Racinesniemed'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . .32 2.6. 1) Racinesniemed'un nombre complexe . . . . . . . . . . . .32 2.6. 2) Racine carree d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . .32 2. 7) Resolution des equations du second degre dansC. . . . . . . . . . .33 2. 8) Applications a la geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 2.8. 1) Transformations geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 2.9) Enonces des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 2.10 Corrige des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 2§0.0] Table des matieres 33 Suites de nombres reels 443.
1) Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 3. 2) Monotonie d'une suite reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 3. 3) Suites reelles et relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 3. 4) Sous-suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 3. 5) Convergence d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 3. 6) Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3. 7) Operations sur les suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 3. 8) Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 3.9) Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 3.10 Suites recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.11 Enonces des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.12 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 4 Fonctions reelles d'une variable reelle 684.
1) Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 4.1. 1) Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 4.1. 2) Fonctions bornees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 4. 2) Limite d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 4.2. 1) Autres limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 4.2. 2) Relation entre limite de fonctions et limite de suites . . . . . .71 4.2. 3) Operations sur les limites de fonctions . . . . . . . . . . . . .73 4. 3) Notations de Landau o et O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 4. 4) Fonctions equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 4. 5) Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 4.5. 1) Continuite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 4.5. 2) Prolongement par continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 94.5. 3) Theoremes sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . .8 04. 6) Fonctions trigonometriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 4.6. 1) Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 4.6. 2) Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 4.6. 3) Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 4.6. 4) Fonction arccot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 4. 7) Fonctions elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 4.7. 1) Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 4.7. 2) Fonction logarithme neperien . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 4.7. 3) Fonction logarithme de base quelconque . . . . . . . . . . . .90 4.7. 4) Fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 14. 8) Fonctions hyperboliques et leurs inverses . . . . . . . . . . . . . . . .91 4.8. 1) Fonction cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 4.8. 2) Fonction sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 4.8. 3) Fonction tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . .92 4.8. 4) Fonction cotangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . .9 34.9) Enonces des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 4.10 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 Analyse 1Damerdji Bouharis A.
4) Table des matieres [Ch.05 Fonctions derivables 1065. 1) Fonctions derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 5.1. 1) Interpretation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 5.1. 2) Derivee d'une fonction reciproque . . . . . . . . . . . . . . . .110 5. 2) Derivee n-ieme d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 5.2. 1) Derivee n-ieme d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 5.2. 2) Derivee n-ieme d'un produit de fonctions (Formule de Leibnitz).1145. 3) Theoremes sur les fonctions derivables . . . . . . . . . . . . . . . . .114 5.3. 1) Theoreme de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 45.3. 2) Theoreme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 55.3. 3) Theoreme des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . .116 5.3. 4) Variations d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 5.3. 5) Formule de Cauchy- Accroissements nis generalises . . . . . .118 5. 4) Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 5.4. 1) Formule de Taylor avec reste de Lagrange . . . . . . . . . . .120 5.4. 2) Formule de Taylor avec reste de Young . . . . . . . . . . . . .122 5.4. 3) Formule de Taylor-Mac laurin-Young . . . . . . . . . . . . . .122 5. 5) Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 5.5. 1) Parametrage d'un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 35.5. 2) Point d'inexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124 5. 6) Etude des branches innies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 5. 7) Enonces des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 5.8) Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 Damerdji Bouharis A.USTO MBAvant proposCe polycopie est un support pedagogique; destine aux etudiants inscrits a l'uni-versite en premiere annee Licence LMD, domaine : Mathematiques et InformatiqueMI.
C'est un cours illustrant les notions de base en Analyse mathematique and'acquerir et comprendre les fondements du raisonnement mathematique indispen-sable a la comprehension de la suite des enseignements en Mathematiques ou enInformatique.Dans ce cours on presente les denitions des outils mathematiques et leurs pro-prietes, tout en donnant les remarques importantes, qui aident a assimiler ces no-tions, ainsi que les theoremes et propositions de base en illustrant le tout par desexemples detailles.
A la n de chaque chapitre on presente des exercices de degre dediculte variable, avec des corriges detailles.Ce polycopie decrit le programme de la matiere Analyse1, enseignee au premiersemestre; aux etudiants de la premiere annee MI; il est compose de quatre cha-pitres, dans le premier on introduit le corps des nombres reels ensuite on passe auchapitre sur le corps des nombres complexes, puis le troisieme chapitre concernantles suites reelles, ainsi que leurs proprietes, pour passer enn aux deux dernierschapitres portant sur les fonctions reelles a une variable reelle, notamment les no-tions de continuite, de derivabilite ainsi que leurs developpement en serie de Taylor,tout en introduisant l'etude des fonctions trigonometriques inverses et les fonctionshyperboliques ainsi que leurs fonctions inverses.Chapitre 1Le corps des nombres reels1.
1) Denition axiomatiqueL'ensemble des nombres reels est l'ensemble note parR; sur lequel sont deniesdeux lois de composition internes :l'addition" + " :RR!R(x;y)7!x+yet la multiplication"" :RR!R(x;y)7!xytel que (R;+;) est un corps commutatif archimedien.La relation ""est une relation d'ordre total surR:8(x;y)2R2: (xy)_(yx):Les deux lois de composition internes; denies surRsont compatibles avec larelation d'ordre total "":Toute partie non vide et majoree deR; possede une borne superieure dansR:1.
2) La valeur absolueDenition 1.2.1) La valeur absolue est une application deRdans l'ensemble desnombres reels positifsR+;notee parj:jet denie par :j:j:R!R+x7! jxj=xsix0xsix <0Proprietes 11.jxj 0;8x2R:2.jxj= 0,x= 0:3.jxj x jxj;8x2R:6§1.3] Intervalles deR74.8a0;jxj a, axa:5.jx:yj=jxj:jyj;8x;y2R:6.xy=jxjjyj;8(x;y)2RR:7.jx+yj jxj+jyj;8x;y2R;( L'inegalite triangulaire).8.jjxj jyjj jxyj;8x;y2R;( La seconde inegalite triangulaire).Preuve :7.
On a8x;y2Rjxj x jxjjyj y jyjd'ou en faisant la somme(jxj+jyj)x+y jxj+jyj , jx+yj jxj+jyj:8.On a8x;y2Rjxj=jxy+yj ) jxj jxyj+jyj , jxj jyj jxyjetjyj=jyx+xj ) jyj jyxj+jxj , jxyj jxj jyjdoncjxyj jxj jyj jxyj , jjxj jyjj jxyj:21.
3) Intervalles deRDenition 1.3.1) Une partieIdeRest un intervalle deRsi des qu'elle contientdeux reelsaetbalors elle contient tous les reels compris entre eux.8a;b2I;8x2R;axb)x2I:Exemples 1.3.21.Ret l'ensemble vide;sont des intervalles.2.R+est un intervalle.3.RetNne sont pas des intervalles.Remarques :1.P ourles notations, soien ta;b2R;on a les intervalles deR:bornes : ouverts ]a;b[, fermes [a;b] ou semi-ouverts [a;b[ , ]a;b]:non bornes : ouverts ]1;b[ , ]a;+1[ ou fermes [a;+1[;]1;b]:Sia=balors [a;a] =fag