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Faculté des sciences et techniquesDEUG MIAS - Math22002-2003Cours d"algèbreTable des matièresPrologue21.

Espaces vectoriels31.1. Structure vectorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.2. Sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.3. Familles libre, liée, génératrice et base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.4. Espaces vectoriels de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.5. Rang d"une famille de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152. Applications linéaires162.1. Application linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162.2. Isomorphie, image et noyau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.3. Espaces d"applications linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213. Matrices233.1. Tableaux matriciels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233.2. Matrice d"une application linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253.3. Changement de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273.4. Rang d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293.5. Matrices particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313.5.1. Matrice diagonale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313.5.2. Matrice triangulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323.5.3. Matrice de permutation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344. Déterminants354.1. Déterminants d"ordre 2 ou 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354.2. Déterminants d"ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .374.3. Inversion d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384.4. Déterminants d"une famille de vecteurs et d"un endomorphisme. . . . . . . . .394.5. Rang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .404.6. Aire et volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414.7. Systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414.8. Deux exemples de systèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .445. Appendice : opérations élémentaires sur les lignes465.1. Calcul du rang et construction d"une base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .475.2. Test d"inversibilité et calcul de l"inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .485.3. Résolution de systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .486.

Orientations bibliographiques et index501L"algèbre linéaire est présente dans tous les domaines des mathématiques (calcul diffé-rentiel, calcul intégral, théorie des nombres, équations différentielles, géométrie, ) et de sesapplications (physique, analyse des données, modélisation, ).La structure linéaire repose sur la définition d"ensemble munis de structure supplémen-taire (lesespaces vectoriels), qui sont mis en correspondance par des applications compatiblesavec leur caractère vectoriel (lesapplications linéaires).

La mise en oeuvre de calculs linéairesdonne lieu auxmatriceset au calcul matriciel.

Le problème particulier d"inversion des appli-cations linéaires (ou, en termes matriciels, des systèmes linéaires) est résolu (partiellement)par le calcul desdéterminants.

Tels sont brièvement présentés les quatre chapitres de cecours, suivis d"un appendice1qui en reprend quelques éléments en prenant un point de vueaisément qualifiable d"algorithmiqueet où les concepts précédemment développés donnentun éclairage utile.En évitant l"abstraction, il convient de faire le choix explicite des nombres à la base descalculs linéaires, lesscalaires.

S"inspirant de la géométrie élémentaire (source de l"intuitiongéométrique de certains concepts linéaires et motivation à ces développements), un choixpossible est celui de l"ensemble des nombres réelsR.

Un autre choix (guidé par exemple parles équations différentielles de l"électricité avec les solutions complexes oscillanteseiωt) estcelui de l"ensemble des nombres complexesC.

C"est ce dernier choix qui a été la règle dans lesnotes présentes (au contraire de l"exposé oral qui se limitera aux espaces réels), à l"exceptionde l"appendice : le lecteur, incité à en faire une lectureréelle, n"y verra pas beaucoup dedifférence, tout en gagnant plus de proximité avec le monde linéaire (la lecturecomplexedel"appendice achèvera de le convaincre du rôle véritable joué par le type de scalaires choisi).Quelques courts éléments biographiques ont été introduits lorsqu"apparaît au détourd"une définition ou d"un exemple un mathématicien du passé.

Ils témoignent du caractèreancien des préoccupations linéaires liées de manière naturelle à l"étude de systèmes d"équa-tions linéaires, et qui aboutissent aux notions plus structurelles formalisées dans les années1930 : la présentation de ces notes (à l"inverse du développement historique de lalinéarité)s"est en fait imposée dans la seconde moitié du XXe siècle.

Ces bribes de lecture histo-rique inviteront le lecteur à d"autres lectures, tant les ouvrages d"algèbre linéaire remplissenttoute bibliothèque (quelques références sont données en clôture, où exposés et exercices sontpareillement recommandables), sans parler de l"intervention récurrente dans toutes les ma-thématiques des quelques concepts linéaires introduits ici (le cours d"analyse qui suit énonceet prouve certaines propriétés de linéarité, réflexion faite déjà non triviales).Aucune figure n"accompagne ces notes : le cours oral palliera à ce manque, rappelantl"origine géométrique des structures linéaires.Laurent GuillopéNantes, le 1erjanvier 2003Quelques coquilles ont été corrigées à l"issue du cours oral de début 2003.

Ce texte est dispo-nible surwww.math.sciences.univ-nantes.fr/˜guillope/MIAS_Math2. Merci de signaler touteremarque àlaurent.guillope@math.univ-nantes.fr. Nantes, le 15 décembre 20031Cet appendice a été rédigé par X. Saint Raymond.21.

Espaces vectorielsGénéralisant des objets rencontrées précédemment (vecteurs du plan ou de l"espace, quisont additionnés ou multipliés par un réel), la notion d"espace vectorieloffre un cadre concep-tuel efficace, aux incarnations multiples.

Ce cadre permet l"étude des phénomènes en premièreapproximation (linéaire: une droite approche une courbe, un plan une surface) et est à labase de l"étude algébrico-géométrique des espaces àndimensions.1.1.

Structure vectorielleLes définitions générales (1.1et1.2) s"appliquent à des exemples connusExemples 1.11.le plan-→E2(resp. l"espace-→E3) de la géométrie élémentaire vu comme ensemble devecteurs-→v;2.l"ensembleMm,n(C)des matrices àmlignes etncolonnes à coefficients complexes;3.l"ensembleR[X]des polynômes à coefficients réels.Définition 1.

1) Unespace vectoriel surCest un ensemble non videEmuni de deux opé-rations, à savoir une addition(e,f)?E2→e+f?Eet une multiplication(α,e)?C×E→α·e?Evérifiant(A1)Pour toute,f,gdansE,e+ (f+g) = (e+f) +g;(A2)il existe un élément0Etel que pour toutedansE,e+0E= 0E+e=e, l"élément0Eest ditvecteur nul deE;(A3)pour toute?E, il existe un élément deE, appeléopposé deeet noté-etel quee+ (-e) = (-e) +e= 0E;(A4)pour toute,fdeE,e+f=f+e;(B)pour toute,fdeEet toutα,βdeC,(B1)α·(β·e) = (αβ)·e,(B2)α·(e+f) = (α·e) + (α·f),(B3)(α+β)·e= (α·e) + (β·e),(B4)1·e=e.Un élément deEest appelévecteuret un élément deCunscalaire.?Les axiomes (A1-4) font de(E,+)un groupe commutatif (ou abélien2) : (A1) confèreà l"addition de vecteurs la propriété d"associativité (qui permet de ne pas se soucier deparenthésages dans la somme de vecteurse1+e2+ +ep), alors que (A4) énonce lacommutativité de l"addition.La notatione-fsignifiee+(-f).

On peut simplifiere+g=f+gene=fen ajoutantà chaque membre de l"égalité-get en utilisant (A1) (associativité), (A3) (opposé) et (A2)(élément neutre).?La notion d"espace vectoriel surCest un cas particulier de la notion d"espace vectorielsur unensemble de scalairesSayant la structure de corps.

Ainsi, siS=R, on parlerad"espace vectoriel surR. 2) Niels Henrik Abel, 5 août 1802, Frindoe, Norvège - 6 avril 1829, Froland, Norvège. 3) Définition 1.

2) L"ensemble non videEest unespace vectoriel surRs"il est muni d"uneaddition et d"une multiplication par un réel, opérations vérifiant les axiomes (A1-4) et (B1-4)de la définition1.1oùαetβsont des nombres réels quelconques?Dans la suite, et sauf indication contraire explicite (comme lorsque la notion d"aire seraintroduite comme vision géométrique du déterminant), toutes les notions introduites, etles résultats établis ci-dessous, pour les espaces vectoriels complexes (i. e.sur le corps desscalairesS=C) se transposent immédiatement aux espaces vectoriels réels : la raison enest queRetCsont munis d"une addition et d"une multiplication aux propriétés algébriquessimilaires (celles qui définissent une structure decorps, en particulier, tout scalaire, réel oucomplexe, non nul est inversible).

Un autre cas est fourni parS=Q(et les espaces vectorielssurQ). À l"opposé, l"ensemble des entiers naturelsZne peut être pris comme ensemble descalaires : cela provient de la non inversibilité pour le produit deZdes entiers relatifs nonnuls différents de1et-1.?Exemples 1.21.Soitnun entier non nul.

L"ensembleCn={x= (x1, ,xn) :x1, ,xn?C}muni des opérationsx+y= (x1+y1, ,xn+yn), α·x= (αx1, ,αxn)est un espace vectoriel surC.

On vérifie0Cn= (0, ,0)et-x= (-x1, ,-xn).2.SoitAun ensemble non vide etEun espace vectoriel.

L"ensemble des applicationsF(A,E) ={fapplication deAdansE}avec les opérations(f+g)(a) =f(a) +g(a),(αf)(a) =αf(a), a?Aest un espace vectoriel.

On vérifie que l"application0F(A,E)définie par0F(A,E)(a) =0E,a?Aconvient comme neutre et que l"opposé-fdef? F(A,E)est défini par(-f)(a) =-f(a),a?A.Comme cas particulier lorsqueE=C, on a, pourA=Iintervalle deR, l"espaceF(I,C)des applications deIdansCet pourA=N, l"ensembleF(N,C)des suitesu= (u0,u1,u2, )à valeurs scalaires.

L"espaceCnest de ce type avecAl"intervalled"entiers[1,n]: l"espaceF(A,E)est noté parfoisEA(ce qui donneF(N,C) =CN).Proposition 1.

1) SoitEunCespace vectoriel.

Alors poure?Eetα?C(i)α·0E= 0E,(ii)0·e= 0E,(iii)(-α)·e=α·(-e) =-(α·e),(iv)siα·e= 0E, alorsα= 0oue= 0E.Preuve :(i)α·0E=α·(0E+ 0E) =α·0E+α·0E, soit0E=α·0E.(ii)0·e= (0 + 0)·e= 0·e+ 0·esoit0E= 0·e4(iii)α·e+ (-α)·e= (α+ (-α))·e= 0·e= 0Esoit(-α)·e=-(α·e)α·(-e) +α·e=α·(-e+e) =α·0E= 0Esoitα·(-e) =-(α·e)(iv)Siα?= 0etα·a= 0E, alors0E=1α·0E=1α·(α·e) = (1αα)·e= 1·e=e.Définition 1.

3) Soite1, ,endes vecteurs d"un espace vectorielE.

On appellecombinaisonlinéairedee1, ,entout vecteuredeEqui s"écrite=x1e1+x2e2 +xnenavec lesx1,x2 ,xndes scalaires.Exemples 1.31.Soitxun vecteur deCn.

Il s"écritx= (x1, ,xn)=x1(1,0, ,0) +x2(0,1,0, ,0) + +xn(0,0, ,0,1).Ainsi tout vecteurxdeCnest combinaison linéaire dese1,e2, ,enoùeinote levecteur deCndont la seule coordonnée non nulle est la i-ème, qui vaut1.2.Soienta1= (α11, ,αn1), ,ap= (α1p, ,αnp)pvecteurs deCn.

Alorsb=(β1, ,βn)est combinaison linéaire desa1, ,aps"il existe des scalaires(x1, ,xp)tels queb=x1a1+ +xpap, c"est à dire1=α11x1+ +α1pxp2=α21x1+ +α2pxpn=αn1x1+ +αnpxpCet exemple est à l"origine de la théoriegéométrique(ouvectorielle) des systèmesd"équations linéaires.Proposition/Définition 1.

1) SoientEetFdes espaces vectoriels.

Le produit cartésienE×F={(e,f) :e?E,f?F}muni de l"addition(e,f) + (e?,f?) = (e+e?,f+f?), e,e??E,f,f??Fet de la multiplication par un scalaireα·(e,f) = (α·e,α·f), e?E,f?F,α?Cest un espace vectoriel, appeléespace vectoriel produit deEetF.Preuve :On a0E×F= (0E,0F)et-(e,f) = (-e,-f).

Il est aisé de vérifier explicitementles propriétés (A1-4, B1-4).?On définit de manière analogue le produitE1× ×Endenespaces vectorielsE1, ,En.On retrouveCn=C× ×C(nfacteurs).?51.2.

Sous-espaces vectorielsDéfinition 1.

4) Une partieFde l"espace vectorielEest appelée unsous-espace vectorieldeEsiFvérifie(i)la partieFest non vide,(ii)pour tous vecteurse,fdeF, la sommee+fest dansF,(iii)pour toutedeFetαdeC, le vecteurα·eest dansF.Ainsi, un sous-espace vectorielF, partie non vide deE, est lui-même un espace vectoriel,avec ses opérations obtenues par restriction de celles deE.Exemples 1.41.SiEest un espace vectoriel, les parties{0E}etEen sont des sous-espaces vectoriels.2.Les partiesF={(x,0,0,0) :x?C},G={(x,y,z,t)?C4:x+2x-πz+sin(1)t= 0}sont des sous-espaces vectoriels deC4.3.SiEest un espace vectoriel, les partiesPE={f? F(R,E) :f(-x) =f(x),x?R}etIE={f? F(R,E) :f(-x) =-f(x),x?R}sont des sous-espaces vectoriels del"espace vectorielF(R,E).4.L"ensembleCn[X]des polynômes de degré au plusnest un sous-espace vectoriel del"espace vectoriel des polynômesC[X].Proposition 1.

2) SoitFune partie d"un espace vectorielE.

La partieFest un sous-espacevectoriel deEsi et seulement si1.la partieFcontient le vecteur nul0E,2.pour toute,fdeFetα,βdeC, le vecteurαe+βfest dansF.Preuve :SoitFsous-espace vectoriel deE.

La partieFest non vide, donc sifest un deses éléments, son opposé-f= (-1)·fest dansFd"après (iii), ainsi que0E=f+ (-f)d"après (ii) : le vecteur nul0Eest bien dansF.

Siα,βsont des scalaires,e,fdes vecteursdeF, alors les vecteursαeetβfsont dansFd"après la propriété (iii) et leur somme aussid"après (ii) :Fest bien stable par combinaison linéaireαe+βf.Réciproquement, soitFune partie deEvérifiant les propriétés 1. et 2.

Vu que le vecteurnul0Eest dansF, la partieFest non vide.

Par ailleurs, en prenantα=β= 1, puisβ= 0,les propriétés (ii) et (iii) résultent de la stabilité par combinaison linéaire.

La partieFestbien un sous-espace vectoriel deE.Proposition/Définition 1. 2) Soiente1 ,epdes vecteurs deE.

L"ensemble des combi-naisons linéaires dee1, ,epest un sous-espace vectoriel, notéVect(e1, ,ep)et appelésous-espace vectoriel engendré par(e1, ,ep).Preuve :Le vecteur nul0Eest une combinaison linéaire dese1, ,ep:0E= 0·e1+ + 0·ep.Ainsi le vecteur nul0Eappartient àVect(e1, ,ep).Par ailleurs, étant donné les deux combinaisons linéairesx=x1e1+ +xpep,y=y1e1+ +ypep, la combinaison linéaireαx+βyest combinaison linéaire dese1, ,ep:αx+βy= (αx1+βy1)e1+ + (αxp+βyp)ep.

6) La proposition résulte de la proposition1.2.?Le sous-espaceVect(e)est égalCe={αe:α?C}.

Sieest non nul, c"est ladroitevectorielleengendrée pare; sie= 0, c"est le sous-espace{0E}.Sieest combinaison linéaire dese1, ,ep, le sous-espaceVect(e,e1, ,ep)coïncideavec le sous-espaceVect(e1, ,ep).

En effet, sie=α1e1+ +αpep,λe+β1e1+ +βpep= (λα1+β1)e1+ + (λαp+βp)ep.?Le sous-espaceVect(e1, ,ep)est le plus petit (pour la relation d"inclusion) des sous-espacesvectoriels contenant les vecteurse1, ,epau sens suivantProposition 1.

3) SoitF= Vect(e1, ,ep). Alors, pouri= 1, ,p, le vecteureiappar-tient àF.

SiGest un sous-espace vectoriel contenant lesei,i= 1, ,p, alorsG?F.Preuve :Le vecteurekest combinaison linéaire?pi=1αieien prenant tous les scalairesαinuls, sauf celui d"indicekégal à 1.SoitGun sous-espace contenant tous lesei.

Tout vecteurvdeF= Vect(e1, ,ep)estde la formev=α1e1+ +αpepd"après la Prop./Déf.1.2: le vecteurvappartient àG(qui est un sous-espace vectoriel) et doncF?G.Proposition 1.

4) SiFetGsont des sous-espaces vectoriels de l"espace vectorielE, alorsl"intersectionF∩Gest un sous-espace vectoriel deE.Preuve :D"une part, par hypothèse le vecteur nul0Eappartient aux sous-espacesFetG,et donc à leur intersection.

D"autre part, sie1,e2?F∩Getα1,α2sont des scalaires, lacombinaison linéaireα1e2+α2e2appartient àFet àGet donc à leur intersection.

AinsiF∩Gest un sous-espace vectoriel d"après la proposition1.2.Proposition/Définition 1. 3) SoientFetGdes sous-espaces vectoriels de l"espace vecto-rielE.

La partieF+Gdéfinie parF+G={f+g:f?F,g?G}est un sous-espace vectoriel deE, appelésomme deFet deG.Preuve :On a0E= 0F+ 0G(ces trois vecteurs nuls coïncident!) et donc0Eest dans lapartieF+G.

Par ailleurs, soitα1e1+α2e2une combinaison linéaire avece1ete2dansF+G. Le vecteurei(i= 1,2)est de la formeei=fi+giavecfi?Fetgi?G. Ainsi1e1+α2e2=α1(f1+g1) +α2(f2+g2) = (α1f1+α2f2) + (α1g1+α2g2)est un vecteur de la partieF+G. Ainsi, d"après la proposition1.2,F+Gest un sous-espacevectoriel deE.Exemple 1. 1) Soit pourαcomplexe le sous-espaceFn(α) ={P?Cn[X],P(α) = 0}.

Del"écritureP=?P-P(0)X+P(0)?X+P(0)(1-X).résulteCn[X] =Fn(0) +Fn(1)pourn≥1, ainsi que la sommeC[X] =F(0) +F(1)oùF(α) ={P?C[X],P(α) = 0}.7?Outre l"inclusion deF∩GdansFetG, on a doncF?F+GetG?F+G.

Engénéral, il n"est pas vrai que l"unionF?Gsoit un sous-espace vectoriel.On généralise àpsous-espacesF1, ,Fp, en introduisant la sommeF1+ +Fp={f1+ +fp:fi?Fi,i= 1, ,p}.On remarquera queVect(e1, ,ep) = Vect(e1) + + Vect(ep) =Ce1+ +Cep.?Définition 1.

5) SoientFetGdes sous-espaces vectoriels deE.

Il est dit queEestsommedirectedeFetG, ou queFetGsont dessous-espaces supplémentaires deE, si(i)F∩G={0E},(ii)F+G=E.On noteraE=F?GsiFetGsont des sous-espaces deEen somme directe.?SiFetGsont des sous-espaces tels queF∩G={0E}, alors, siS=F+G,FetGsont des sous-espaces supplémentaires de l"espace vectorielS.?Exemple 1.

2) Soient, dans l"espace vectorielC3, les sous-espacesF=C(1,0,0), G={(0,y,⎷2z) :y,z?C}, H={(x,y,z)?C3:y+z= 0}.On aC3=F?Gvu(x,y,z) =x(1,0,0) + (0,y,⎷2z⎷2mais les sous-espacesFetHne sont pas supplémentaires :F∩H=F?={0C3}.Reprenant l"exemple1.2, on aF(R,E) =PE? IE.

En effet, une fonctionfde l"inter-sectionPE∩ IEvérifief(x) =f(-x) =-f(x)soit2f(x) = 0et doncf= 0.

Par ailleursfs"écrit comme sommef=fp+fiavecfp(x) =f(x) +f(-x)2, fi(x) =f(x)-f(-x)2, x?Roùfp? PEetfi? IE.Proposition 1.

5) SoientFetGdes sous-espaces de l"espace vectorielE.

AlorsE=F?Gsi et seulement si tout vecteures"écrit sous la formee=f+gavecf?Fetg?G,fetgétant définis de manière unique.Preuve :SupposonsE=F?G.

Soiteun vecteur deE. Vu queE=F+G, alors il existef?Fetg?Gtels quee=f+g. Supposons une autre décompositione=f?+g?, avecf??F,g??G. Alorsf-f?=g?-g, vecteur deEà la fois dansFet dansG, et doncégal à0E(unique vecteur deF∩G).

Ainsif=f?,g=g?et l"écrituree=f+gest doncunique.Réciproquement, supposons l"existence et l"unicité de l"écrituree=f+gavecf?F,g?Gpour tout vecteuredeE.

L"existence de cette écriture assureE=F+G. En outre,poure?F∩G, on ae=e+ 0G= 0F+eet par unicité, il résulte0F=e= 0Get doncF∩G={0E}.

Les sous-espacesFetGsont supplémentaires dansE.?Les sous-espacesF1, ,Fpsont dits en somme directe, et on écritF1? ?Fp, si toutvecteuredeEadmet une décomposition uniquee=f1+ +fp, avecfivecteur deFi(i= 1, ,p).?81.3.

Familles libre, liée, génératrice et baseParfamillefd"éléments d"un ensembleA, on entend une énumération d"éléments deA,chacun de ces éléments étant étiqueté par un élémentid"un ensemble d"indicesI.

Souvent,Iest l"ensemble des entiers de1àpet on écritf= (a1,a2, ,ap)(il peut avoir égalitéentre des éléments de la famillef, ce qui n"est pas le cas dans la descriptionensemblisted"une partie{α1, ,αq}); siI=N, on écritf= (a0,a1,a2, )et en général, on écritf= (ai)i?I.

Une sous-famille?fdef= (ai)i?Iest déterminée par une partie?IdeI: c"est lafamille des éléments defindexés par?I.Définition 1.6(i)La famillee=