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Définition; noyau et image d'une application linéaire

C'est quoi le noyau d'une application linéaire ?
Noyau d'une application linéaire
Le noyau est un sous-espace de l'espace vectoriel V, et l'espace vectoriel quotient V/ker(f) est isomorphe à l'image de f ; en particulier, le théorème du rang relie les dimensions : L'application linéaire f est injective si et seulement si ker(f) = {0}.
C'est quoi l'image d'une application linéaire ?
Définition Si f : E → F est une application linéaire, son image, notée Imf est l'ensemble des vecteurs de F de la forme f (v) avec v ∈ E : Imf := {f (v)v ∈ E}.
C'est quoi l'image d'une application ?
On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l'image directe par f de l'ensemble de départ A.
C'est donc le sous-ensemble de B contenant les images de tous les éléments de A, et uniquement ces images.
On le note Im(f).
Exemple : « L'image de la fonction sinus est le segment [–1, 1]. »
Définition Si f : E → F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ∈ Ef (v)=0}.
Le noyau de la projection p := (x,y,z) ↦→ (x,y,0) de R3 sur son plan horizontal est l'axe vertical défini par x = y = 0.

Noyau et image Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul (c'est une propriété générale des morphismes de groupes). Une application (linéaire ou pas) est surjective si et seulement si son image est égale à son ensemble d'arrivée tout entier.

Noyau et image des applications linéaires

Définition; noyau et image d'une application linéaire

C'est quoi le noyau d'une application linéaire ?

C'est quoi l'image d'une application linéaire ?

C'est quoi l'image d'une application ?