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Feuille 4: Applications lin eaires continues

Comment montrer qu'une application linéaire est continue ?
Pour démontrer qu'une application linéaire u:E→F u : E → F est continue, on cherche une constante C>0 telle que, pour tout x∈E x ∈ E , on ait ∥u(x)∥≤C∥x∥ ‖ u ( x ) ‖ ≤ C ‖ x ‖ (voir cet exercice).
Est-ce que toute application linéaire est continue ?
Applications linéaires sur un espace de dimension finie
Si E est de dimension finie alors (quel que soit le choix de la norme sur E, puisque toutes sont équivalentes), toute application linéaire sur E est continue.
Comment montrer que c'est un endomorphisme ?
Si F = E, f est appelée un endomorphisme.
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Propriétés.
Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).
Soient et deux vectoriels; une application de dans est appelée application linéaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes : Pour tous vecteurs et de , Pour tout vecteur de et pour tout scalaire de , f ( λ u ) = λ f ( u ) .

Comment montrer qu'une application linéaire est continue ?