Comment calculer les dérivées partielles ?
Dérivation partielle d'une fonction composée f (u, v)
Notation : F ′ ( x ) = d F d x : fonction dérivée de par rapport à f u ′ ( u , v ) = δ f ( u , v ) δ u : dérivée partielle de par rapport à u ′ ( x ) = d u d x : dérivée de par rapport àComment justifier l'existence des dérivées partielles ?
Pour étudier l'existence d'une dérivée partielle par rapport à la première variable en (0,0) ( 0 , 0 ) , on étudie le taux d'accroissement f(t,0)−f(0,0)t=0→0. f ( t , 0 ) − f ( 0 , 0 ) t = 0 → 0.
Donc ∂f∂x(0,0) ∂ f ∂ x ( 0 , 0 ) existe et vaut 0.Comment montrer qu'une dérivée partielle est continue ?
Théorème 1.4.
Si f admet des dérivées partielles et si elles sont continues alors f est différentiable.
On dit que f est de classe C1.
Si f : U → R où U est un ouvert de Rn, alors : (i) Si f est C1 sur U alors f est différentiable sur U et les dérivées ∂ f ∂ xi existent sur U.- f est de classe C1 sur U si et seulement si f est différentiable sur U et si l'application x↦dfx x ↦ d f x est continue.
Plus généralement, on dit que f est de classe Ck sur U lorsque toutes les dérivées partielles de f jusqu'à l'ordre k existent et sont continues sur U.
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