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THÈSEPour obtenir le grade deDOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE GRENOBLESpécialité : Génie ÉlectriqueArrêté ministériel : 7 août 2006Présentée parThi-Tinh-Minh LEThèse dirigée par Nicolas RETIEREpréparée au sein du Laboratoire de Génie Électrique deGrenoble (G2ELAB)dans l'École Doctorale d'Électronique, Électrotechnique,Automatique et Traitement de Signal (EEATS)Modélisation dynamique desréseaux d'énergie électriquetenant compte des propriétésd'invariance d'échelleThèse soutenue publiquement le07/05/2014,devant le jury composé de :Monsieur Nouredine HADJ-SAIDProfesseur à l'INP Grenoble, PrésidentMonsieur Jean-Guy CAPUTOMaître de conférence à l'INSA de Rouen, RapporteurMonsieur Georges KARINIOTAKISMaître de recherche de Mines ParisTech, RapporteurMonsieur Frédéric SUARDIngénieur de Recherche de CEA Saclay, ExaminateurMonsieur Jean-christian ANGLES-DAURIACDirecteur de Recherche de l'Institut NEEL (CNRS), ExaminateurMonsieur Nicolas RETIEREProfesseur à l'Université Joseph Fourier, Grenoble, Directeur de thèseiRemerciementsiiTABLES DES MATIERESINTRODUCTION GENERALE .

1) PARTIE I : CONTEXTE ET PROBLEMATIQUES 3CHAPITRE 1 : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES RESEAUX ELECTRIQUES 61.

UN RESEAU ELECTRIQUE DE PLUS EN PLUS COMPLEXE 62. LA MODELISATION DYNAMIQUE DES RESEAUX ELECTRIQUES 92.1. Les deux grandes classes de modèles 92.2. Les modèles dynamiques équivalents 112.3. Modèle équivalent hautes fréquences 122.3.1. Approche FDNE (Frequency-Dependent Network Equivalent) 122.3.2. Approche TLNE (Two-Layer Network Equivalent) 132.4. Modèle équivalent basses fréquences 142.4.1. La méthode modale 152.4.2. La méthode d'agrégation par analyse de cohérence 162.4.3. La méthode d'identification 172.5. Modèle équivalent large bande 173.

CONCLUSION 17CHAPITRE 2 : DES NOUVEAUX OUTILS POUR ANALYSER LA COMPLEXITE DES RESEAUXELECTRIQUES 201.

LA THEORIE DES GRAPHES COMPLEXES 202. L'INVARIANCE D'ECHELLE 212.1. Définition . 212.2. Mesures de l'invariance d'échelle dans un réseau 232.2.1. La dimension fractale 232.2.2. La dimension spectrale 252.2.3. La dimension de marche aléatoire 262.3.

Relations entre la dimension fractale, la dimension spectrale et la dimension de marchealéatoire 262.4.

Méthodes de calcul des mesures d'invariance d'échelle . 272.4.1. Méthodes de calcul de la dimension fractale 272.4.2. La méthode des boîtes 282.4.3. La méthode de croissance d'une boule 292.4.4. Méthodes de calcul pour la dimension spectrale 302.5. La renormalisation 313.

CONCLUSION 31PARTIE II : CONTEXTE ET PROBLEMATIQUES 35CHAPITRE 3 : MESURES FRACTALES DE RESEAUX-MODELES 361.

LE RESEAU ELECTRIQUE DE CANTOR . 361.1. Structure du réseau de Cantor 361.2. Calcul de la dimension fractale du réseau . 371.3. Application de la transformation de renormalisation 381.4. Calcul de la dimension spectrale du réseau de Cantor 412. LE RESEAU ELECTRIQUE DE SIERPINSKI 422.1. Construction et structure du réseau 422.2. Calcul de la dimension fractale 43iii2.3. Renormalisation du réseau de Sierpinski 462.4. Calcul de la dimension spectrale 493. CONCLUSION 51CHAPITRE 4 :MESURES FRACTALES DE RESEAUX REALISTES 521. LE RESEAU IEEE 37 NOEUDS 521.1. Présentation du réseau 521.2. Découpage en niveaux du réseau 531.3. Calcul de la dimension fractale 531.4. Calcul de la dimension spectrale 562. LE RESEAU IEEE 118 NOEUDS 582.1. Présentation du réseau 582.2. Dimension fractale 592.3. Calcul de la dimension spectrale 603.

CONCLUSION 62PARTIE III : CONTEXTE ET PROBLEMATIQUES 67CHAPITRE 5 :COMPORTEMENT FREQUENTIEL ASYMPTOTIQUE D'UN RESEAU DE SIERPINSKI 661.

REPONSE FREQUENTIELLE D'UN RESEAU DE SIERPINSKI 662. MODELISATION ASYMPTOTIQUE AUX HAUTES FREQUENCES 683. MODELISATION ASYMPTOTIQUE AUX BASSES FREQUENCES . 684. MODELISATION ASYMPTOTIQUE INTERMEDIAIRE 694.1. Transformation de renormalisation et admittance d'entrée 694.2. Point fixe de la relation de récurrence portant sur les coefficients de Ybus . 724.3. Point fixe de la relation de récurrence portant sur l'admittance du réseau 734.4. Modèle asymptotique de l'impédance d'entrée 755. MODELISATION ASYMPTOTIQUE LARGE BANDE . 766. CONCLUSION 78CHAPITRE 6 : MODELE DYNAMIQUE D'UN RESEAU REALISTE 801. APPROCHE " BOITE NOIRE » 801.1. La méthode d'identification dite de " Vector Fitting » 801.1.1. Cas de la première itération 811.1.2. Résolution des itérations suivantes . 821.2. Résultats d'identification pour des réseaux réalistes 831.2.1. Identification du réseau IEEE 37 noeuds 831.2.2. Identification du réseau IEEE 118 noeuds 842. VERS UN MODELE DE CONNAISSANCE 872.1. Modèle asymptotique . 872.1.1. Application au réseau IEEE 37 noeuds 882.1.2. Application au réseau IEEE 118 noeuds 882.2. Modèle des résonances 892.2.1. Invariance d'échelle et initialisation du " Vector Fitting » . 902.2.2. Application aux réseaux réalistes 922.3. Le modèle fréquentiel complet 942.3.1. Modèle du réseau IEEE 37 noeuds 942.3.2. Modèle du réseau IEEE 118 noeuds . 953.

CONCLUSION 96ivCONCLUSIONS GENERALES ET PERPESTIVE 98BIBLIOGRPHAPHIE . 102ANNEXE 112ANNEXE A 114ANNEXE B 118ANNEXE C 119ANNEXE D 122TABLES DES ILLUSTRATIONS 128TABLES DES TABLEAUX 132PUBLICATIONS . 134vIntroduction généraleIntroduction générale2Introduction générale3Les réseaux électriques de transport et de distribution sont conçus etexploités pour acheminer l'électricité depuis les producteurs jusqu'aux usagers, engarantissant un niveau de qualité et des conditions de sécurité optimales, au meilleurcoût et avec la plus grande efficacité énergétique possible.

L'arrivée massive de laproduction décentralisée, surtout des sources d'énergie renouvelables, a provoquédes transformations importantes de l'exploitation et de la planification des réseaux.Ceci s'est accompagné d'un développement des marchés de l'énergie et dudéveloppement de nouveaux usages tels que les véhicules électriques.Dans ce contexte, la notion de " Smart Grid » qui désigne le réseau électriqueintelligent intégrant de plus en plus de technologies d'information et decommunication a pris une grande importance lors de la décennie passée.

En effet, afind'optimiser toute la chaine énergétique, de la production, à la consommationd'électricité, le réseau électrique doit mettre en oeuvre des nouvelles fonctionsd'analyse, de contrôle et de protection.

Ceci doit permettre au réseau électrique dedevenir plus flexible, plus accessible, plus fiable et économique.Mais cela rend en même temps plus difficile la modélisation et l'analyse duréseau.

On est en effet passé d'un réseau compliqué à modéliser du fait de sa grandetaille à un réseau complexe qui pose de nouveaux problèmes aux ingénieurs et auxchercheurs qui s'y intéressent.

Non seulement, la taille des réseaux va toujourscroissante mais aussi les interactions en son sein sont de plus en plus nombreuses etsurtout, il est de plus en plus difficile de prévoir le fonctionnement du réseau, parexemple les conséquences d'une faute ou tout simplement comment vont évoluer sescaractéristiques si son architecture ou son mode d'exploitation sont modifiés(LAPIERRE, LE MOIGNE, & S.).En conséquence, les modèles habituels ne permettent plus d'analysersimplement les propriétés d'un réseau.

Et les démarches d'optimisation deviennentde plus en plus lourdes, le concepteur de réseau n'ayant à priori que peud'informations sur la manière de mener la recherche du point optimal.Pour illustrer la problématique associée à la complexité des réseauxélectrique intelligents, prenons le cas de sa structure topologique.

Cette structure ades conséquences déterminantes pour les pertes, les chutes de tension, la stabilitédynamique, la résistance aux pannes et aux fautes intentionnelles, etc.

Dans lesapproches classiques de modélisation dynamique, les relations avec la topologie nesont pas explicites.

Pour les mettre en évidence, il faut faire appel à des modèlesnumériques qui sont en général lourds à manipuler, difficiles à identifier et àexploiter.

Pourtant, c'est à ce prix qu'on pourra trouver des liens entre, par exemple,le degré de maillage d'un réseau et sa capacité de résister à des pannes.

Desapproches de connaissance, plus parcimonieuses, plus analytiques pour comprendreIntroduction générale4les liens entre les caractéristiques topologiques d'un réseau électrique intelligent etses propriétés constitueraient donc une alternative particulièrement intéressanteLes travaux de thèse d'O.

ENACHEANU (2008) et d'A.

AMRANE (2010), et lemaster 2 de T.T.M LE (2010) ont pu montrer que certaines caractéristiques d'unréseau électrique présentent un caractère invariant à différentes échellesd'observation.

Cette propriété est bien connue pour les fractales et permet de mettreen oeuvre une modélisation simple et compacte qui fait un lien étroit, quasianalytique, entre un phénomène et sa représentation mathématique.

Les objectifsprincipaux mon travail de thèse sont donc de confirmer l'invariance d'échelle etd'étudier la possibilité d'une modélisation des réseaux d'énergie électrique tenantcompte de ces propriétés d'invariance.

On se focalisera essentiellement sur lesaspects dynamiques.

Il est en effet crucial de comprendre comment la topologie d'unréseau peut impacter son comportement dynamique pour anticiper desfonctionnements problématiques du fait d'interactions dynamiques non désirées.Dans la première partie de ce manuscrit, nous commencerons par introduirela problématique générale des réseaux électriques aujourd'hui.

Nous balaieronsrapidement les techniques classiques de réduction d'ordre et d'agrégation pour lesmodèles dynamiques.

Ces approches ont surtout été développées pour traiter leseffets de la grande taille des réseaux électriques.

Dans le deuxième chapitre, nousprésenterons des outils et des méthodes pour analyser des réseaux complexes en sebasant sur leurs propriétés topologiques.

La notion de fractalité sera au coeur de cedeuxième chapitre car elle se prête aisément à l'étude des invariances d'échelles, unefractale étant par construction autosimilaire.

Cette première partie se conclura parune présentation de la démarche adoptée pour le reste du mémoire.La deuxième partie s'intéressera à l'exploration de l'invariance d'échelle desréseaux électriques.

Pour cela, on tâchera de déterminer les grandeurs fractales quipermettent de définir l'autosimilarité des réseaux électriques.

Les résultats serontobtenus tout d'abord dans le cas de réseaux-modèles fractals et ensuite pour deuxtypes différents de réseaux électriques réalistes.

Il faut souligner que, pour cespremiers travaux, nous ne nous focaliserons que sur le réseau de puissance et nonpas sur son infrastructure d'infrastructure et de communication.Dans la troisième partie nous essaierons d'exploiter le lien entre la topologieautosimilaire d'un réseau électrique et son comportement dynamique en construisantun modèle dynamique basé sur l'invariance d'échelle.

On montrera comment il estpossible d'approcher le modèle d'un réseau fractal à partir des dimensionscaractéristiques de son autosimilarité.

Nous transposerons cette modélisation à desréseaux réalistes.

Pour compléter cette première modélisation sur les aspects ignoréspar l'invariance d'échelle, il sera nécessaire d'avoir recours à une techniqued'identification connue pour ses performances, le " vector fitting ».

On proposeraIntroduction générale5d'ailleurs une évolution de cette technique basée une fois encore sur l'invarianced'échelle.En résumé, nous tâcherons tout au long du mémoire de montrer comment unréseau électrique peut recéler des propriétés topologiques, le plus souvent ignorées,et pourtant essentielles car pouvant guider de nouvelles approches de modélisation.Partie IContexte et problématiquesSommaireCHAPITRE 1 61.

UN RESEAU ELECTRIQUE DE PLUS EN PLUS COMPLEXE 62. LA MODELISATION DYNAMIQUE DES RESEAUX ELECTRIQUES 92.1. Les deux grandes classes de modèles 92.2. Les modèles dynamiques équivalents 112.3. Modèle équivalent hautes fréquences 122.4. Modèle équivalent basses fréquences 142.5. Modèle équivalent large bande . 173. CONCLUSION 17CHAPITRE 2 201. LA THEORIE DES GRAPHES COMPLEXES 202. L'INVARIANCE D'ECHELLE 212.1. Définition . 212.2. Mesures de l'invariance d'échelle dans un réseau 232.3.

Relations entre la dimension fractale, la dimension spectrale et la dimension de marchealéatoire 262.4.

Méthodes de calcul des mesures d'invariance d'échelle . 272.5. La renormalisation 313.

CONCLUSION 31Chapitre 1 : La modélisation dynamique des réseaux électriques6Chapitre 1La modélisation dynamique des réseauxélectriquesLes réseaux électriques ont toujours été compliqués.

Aujourd'hui ils deviennentde plus en plus complexes par la difficulté à prédire leur comportement.

La modélisationdynamique a souvent eu recours à des méthodes spécifiques pour simplifier lareprésentation mathématique des réseaux.

Si ces méthodes ne sont peut-être plusadaptées à la modélisation des réseaux électriques intelligents, elles constituenttoutefois la base des travaux qui concernent la prise en compte de leur complexité.

Cesméthodes font l'objet de ce premier chapitre.1.

Un réseau électrique de plus en plus complexeTraditionnellement, un réseau électrique comprend toujours quatre grandesparties: la production, le transport, la distribution et enfin la consommation (cf.Figure 1-1).Figure 1-1.Les parties essentielles d'un réseau électrique.(Source :www.creea.u-bordeaux1.fr (2008))La production est la transformation de l'ensemble des énergies convertibles enénergie électrique.

En France, en 2010, par exemple, 74,3% de l'énergie électrique estproduite à partir de sources nucléaires, 12,2% est d'origine hydraulique, 11,0% estd'origine thermique fossile, le reste 2,5% provient des énergies renouvelables commeles éoliennes, l'énergie solaire, etc.Chapitre 1 : La modélisation dynamique des réseaux électriques7Les réseaux de transport et de distribution transportent l'énergie électriquesous une forme triphasée et sinusoïdale dont les caractéristiques sont la fréquence,les niveaux de tension et les couplages des terminaisons.En France, le réseau de transport HTB est actuellement maillé et fonctionne en" interconnexion généralisée » avec le reste de l'Europe.

Avec 46 lignesd'interconnexion aux 6 frontières françaises, les réseaux de transport françaisparticipent au maillage de la plaque continentale.

Ceci permet de fluidifier leséchanges entre les pays, d'assurer une meilleure intégration du marché européen del'électricité, et d'assurer en permanence la sureté du fonctionnement du réseau (RTE,2013).Par contre, les réseaux de distribution HTA et BT sont de structure radiale afind'utiliser de plans de protection simples et robustes.Aujourd'hui, les économies d'énergie et l'efficacité énergétique sont aupremier rang des préoccupations.

Les économies d'énergie consistent à adapter lademande aux pénuries d'énergie. Divers obstacles institutionnels, économiques etsociaux peuvent cependant retarder ou entraver la réalisation des économiesd'énergie.

L'efficacité énergétique maintient une demande normale tend à accroîtrel'efficacité de l'utilisation de l'énergie, de sorte qu'elle aide à réduire la consommationénergétique tout en maintenant le même niveau d'activité (par exemple, un éclairageplus efficace).

Les raisons qui motivent la recherche d'économies d'énergie ou uneplus grande efficacité énergétique sont la hausse et l'instabilité des prix, lescontraintes qui s'exercent sur les nouveaux moyens de production, l'impossibilité deconstruire de nouvelles infrastructures de transport de l'énergie et enfin la maîtrisedes impacts environnementaux de la production d'énergie électrique (Canadienne,2007).Pour répondre à ces enjeux énergétiques, on assiste depuis plus d'unedécennie à une croissance rapide de la production décentralisée, surtout sous laforme de sources d'énergie renouvelable.

Cela permet d'obtenir des producteursayant de faibles émissions de gaz à effet et de réduire le recours aux énergies fossilesaux stocks qui ne sont pas infinis.Avec le développement des producteurs décentralisés, le réseau dedistribution devient un point de raccordement des sources d'énergie électrique(Institut Montaigne, 2012).

D'un point de vue positif, cela permet aux clients, auxfournisseurs, aux institutions d'être tous impliqués dans l'avenir de la fournitured'électricité (European Comission, 2006).

Par contre, cette insertion massive auniveau du réseau de distribution conduit à un changement de paradigme.

Les fluxd'énergie ne sont plus distribués essentiellement " verticalement » (c'est-à-dire de lahaute tension à la basse tension), mais aussi " horizontalement » (c'est-à-dire entreles mêmes niveaux de tension) voire ils s'inversent et remontent le cours normal desréseaux traditionnels.

On trouve là un premier élément de complexité.Chapitre 1 : La modélisation dynamique des réseaux électriques8Au même moment, on a assisté à une libéralisation des marchés de l'énergiequi a entraîné de nouveaux modes de fonctionnement des réseaux électriques pourassurer la flexibilité du fonctionnement du système d'énergie électrique, la qualité etla sécurité de sa fourniture d'énergie, le développement d'un marché de l'énergieconcurrentiel, des prix contrôlés avec des tarifs prévisibles.

Ces nouveaux modes defonctionnements loin des monopoles connus auparavant, la multiplication d'acteursde plus en plus décentralisés dans le système d'énergie électrique est un deuxièmeélément de complexité.De plus, de nombreuses technologies de l'information et de la communication(TIC) ont été intégrées dans les réseaux électriques afin de mesurer, de contrôler, destocker, de transmettre les nombreuses grandeurs utiles à leur bon fonctionnement.Bien sûr tout cela doit se faire avec des durées compatibles avec le respect descontraintes dynamiques des réseaux (Amin & Wollenberg, 2005).

Le réseauélectrique traditionnel a donc été remplacé par le Smart Grid, le réseau électriqueintelligent qui couple étroitement l'infrastructure électrique et TIC dans un mêmesystème global.

Le Smart Grid recouvre une réalité multiforme qui concernel'émergence des sources d'énergies dispersées et intermittente, les innovationstechnologiques en relation avec les TIC, la libéralisation des marchés de l'énergieélectrique.

La notion de microgrids qui définit des sous-réseaux isolés maisconservant une capacité minimale de production et de maintien de l'équilibreproduction-consommation afin d'assurer la continuité de s