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Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

Comment Etudier la continuité d'une fonction à plusieurs variables ?
Solution.
On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).
Comment calculer la limite d'une fonction à deux variables ?
Définition 2.
1) Soit f : R2 → R une fonction réelle de deux variables réelles, (a, b) un point de R2 et l ∈ R.
Alors, f(x, y) a pour limite l quand (x, y) tend vers (a, b) si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe un disque ouvert D contenant (a, b) tel que l'image de D \\ (a, b) par f est contenu dans I.
Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction à plusieurs variables ?
On dit qu'on peut évaluer f en (x,y,z) et f (x,y,z) est la valeur de f en (x,y,z).
Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables), l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f .
On note D(f ). f : R×R → R (x,y) → 1 x − y .
Si une fonction f f f est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [ a ; b ] [a; b ] [a;b] alors, pour tout réel k k k compris entre f ( a ) f(a) f(a) et f ( b ) f(b) f(b), l'équation f ( x ) = k f(x)=k f(x)=k a une unique solution dans l'intervalle [ a ; b ] .

Les notions de limite et de continuité des fonctions d'une seule variable se généralisent en plusieurs variables sans complexité supplémentaire : il suffit de remplacer la valeur absolue par la norme euclidienne. Soit f une fonction f : E ⊂ n → définie au voisinage de x0 ∈ n, sauf peut-être en x0.

Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

Comment Etudier la continuité d'une fonction à plusieurs variables ?

Comment calculer la limite d'une fonction à deux variables ?

Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction à plusieurs variables ?