Comment calculer la dérivée partielle ?
On calcule la d ́eriv ́ee partielle par rapport `auen utilisant la d ́eriv ́ee d’une fonction com- pos ́ee. On trouve ∂F ∂u(u,v) = 1 2 ∂f ∂x u+v 2 , u−v 2 1 2 ∂f ∂y u+v 2 , u−v 2 = 0. L’ ́equation pr ́ec ́edente nous dit queFne d ́epend que dev: il existeg:R→Rde classe C 1 tel que, pour tout (u,v)∈R 2 ,F(u,v) =g(v).
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?
On définit f: R2∖{(0, 0)} → R par f(x, y) = x2 (x2 + y2)3 / 4. Justifier que l'on peut prolonger f en une fonction continue sur R2. Étudier l'existence de dérivées partielles en (0, 0) pour ce prolongement. Pour les fonctions suivantes, démontrer qu'elles admettent une dérivée suivant tout vecteur en (0, 0) sans pour autant y être continue.
Qu'est-ce qui est valable pour les dérivées partielles par rapport à la deuxième variable ?
Enfin, par sym ́etrie des variablesxety, ce que l’on vient de d ́emontrer est aussi valable pour les d ́eriv ́ees partielles par rapport a la deuxieme variable. Ainsi,festC 1 surR 2. Corrig ́e 1.—On remarque d’abord que, dans les 3 cas,fest de classeC 1 surR 2 {(0,0)}.
Comment savoir si une dérivée partielle est homogène ?
On dit que f est homogène de degré r si ∀(x, y) ∈ R2, ∀t > 0, f(tx, ty) = trf(x, y). Montrer que si f est homogène de degré r, alors ses dérivées partielles sont homogènes de degré r − 1 . Montrer que f est homogène de degré r si et seulement si : ∀(x, y) ∈ R2, x∂f ∂x(x, y) + y∂f ∂y(x, y) = rf(x, y). On suppose que f est de classe C2.
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