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Chapitre 8 R´eduction des matrices

Comment faire la réduction d'une matrice ?
Réduire une matrice consiste à chercher une matrice semblable la plus simple possible : dans le meilleur des cas, une matrice diagonale (dont tous les éléments non diagonaux sont nuls — il s'agit alors d'une diagonalisation), sinon une matrice triangulaire supérieure (dont tous les éléments sous-diagonaux sont nuls —
Comment calculer le polynôme d'une matrice ?
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc .
Rappel.
Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.
Est-ce que deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres ?
Proposition 55 Deux matrices semblables ont même spectre.
Elles n'ont par contre pas les mêmes espaces propres, puisque ceux-ci se cor- respondent par changement de base. que la solution triviale.
Ce n'est donc pas de cette façon que l'on calcule les sous- espaces propres dans la pratique.
Définition 5 Le polynome minimal d'une matrice A est un polynôme M de degré minimal tel que M(A) = 0 et de coefficient dominant égal à 1.
Un tel polynome divise tous les polynomes tels que P(A) = 0, il divise le polynome caractéristique de A et il a les mêmes racines que le polynome caractéristique.

Comment faire la réduction d'une matrice ?