Universite Blaise Pascal, U.F.R.
Sciences et Technologies, Departement de Mathematiques et InformatiqueLicence de mathematique, deuxieme annee, S3, U.E. 21MM31, annee 2016-2017CALCUL INTEGRAL ET SERIESNotes de cours de Francois DUMASTable des matieres1 Primitives d'une fonction continue sur un intervalle 11.
1) Denition et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1.
1) Notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1.
2) Existence de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.1.
3) Quelques exemples importants (a conna^tre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.1.
4) Le cas des fonctions puissances (a conna^tre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.1.
5) D'autres exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.
2) Methodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2.
1) Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2.
2) Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2.
3) Primitivation par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.
3) Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.3.
1) Cas des produits d'un polyn^ome par une exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.3.
2) Cas des polyn^omes trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.3.
3) Cas des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2 Integrale d'une fonction continue sur un segment 112.
1) Denition et methodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.1.
1) Integrale et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.1.
2) Integrale et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2.
2) Methodes de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2.2.
1) Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 42.2.
2) Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2.2.
3) Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 2.2.
4) Exemple d'application : formule de Taylor avec reste integral . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.
3) Proprietes de l'integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2.3.
1) Positivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 72.3.
2) Formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 2.3.
3) Inegalite de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 2.
4) Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 2.4.
1) Integrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . .19 2.4.
2) Approximation d'une integrale par la methode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . .19 2.4.
3) Approximation d'une integrale par la methode des trapezes . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 3 Rappels et complements sur le comparaison locale des fonctions 213.
1) Fonctions equivalentes, fonction negligeable devant une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 3.1.
1) Deux relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 3.1.
2) Regles de calculs sur les equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 3.1.
3) Regles de calculs sur la negligeabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 3.1.
4) Remarque sur la comparaison des suites de reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 3.
2) Formule(s) de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 3.2.
1) Point de vue global : inegalite de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 3.2.
2) Point de vue local : theoreme de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 3.2.
3) Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 3.
3) Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 3.3.
1) Notion de developpement limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 3.3.
2) Developpements limites de quelques fonctions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 3.3.
3) Methodes de calculs de developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 3.3.
4) Exemples d'applications de developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 4 Integrales impropres334.
1) Notion d'integrale convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 4.1.
1) Cas d'un intervalle borne semi-ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 4.1.
2) Cas d'un intervalle non borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 4.1.
3) Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 4.1.
4) Un exemple fondamental : integrale de type Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 4.
2) Conditions susantes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 4.2.
1) Regle de majoration pour les fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 4.2.
2) Regle d'equivalence pour les fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 4.2.
3) Deux exemples classiques : integrales de Bertrand et fonction . . . . . . . . . . . . . . . .40 4.2.
4) Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 4.2.
5) Exemples de synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 5 Series numeriques455.
1) Notion de serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 5.1.
1) Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 5.1.
2) Terminologie des series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 65.1.
3) Convergence d'une serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 5.1.
4) Premiers exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 5.1.
5) Espace vectoriel des series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 5.
2) Series a termes reels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 5.2.
1) Critere de majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 5.2.
2) Series de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 5.2.
3) Regle de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 5.2.
4) Regle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 5.
3) Series numeriques a termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 5.3.
1) Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 5.3.
2) Series (reelles) alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 5.
4) Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 5.4.
1) Comparaison entre series et integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 5.4.
2) Deux exemples d'applications : series de Bertrand et constante d'Euler . . . . . . . . . . . .56 5.4.
3) Produit de Cauchy de deux series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 6 Series entieres616.
1) Convergence des series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 6.1.
1) Disques dansCet intervalles dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 6.1.
2) Rayon de convergence d'une serie entiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 6.1.
3) Methodes de calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 6.
2) Fonctions denies par la somme d'une serie entiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 6.2.
1) Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 6.2.
2) Derivabilite, primitivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 6.2.
3) Application aux equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 6.
3) Developpement en series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 6.3.
1) Fonction developpable en serie entiere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 6.3.
2) Exemples classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 7 Series de fonctions (un apercu) 757.
1) Convergence des series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 7.1.
1) Convergence simple et convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 7.1.
2) Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 7.
2) Fonctions denies par la somme d'une serie de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 7.2.
1) Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 7.2.
2) Integration et derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 7.2.
3) Retour sur le cas particulier des series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 7.
3) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Ces notes sont destinees aux etudiants comme support a leur travail personnel.
Il ne s'agit pasd'un \cours" parfaitement nalise, dans sa conception comme dans sa redaction.
Je suis paravance reconnaissant a celles et ceux qui me signaleront les erreurs, manques, imperfections, co-quilles, qu'il contient immanquablement.
Je remercie Monique Chicourrat, Christoph Kriegleret Francois Martin pour leur relecture et leurs nombreuses remarques.version du 15 decembre 2016Francois.Dumas@univ-bpclermont.frChapitre 1Primitives d'une fonction continuesur un intervalle1.
1) Denition et premieres proprietes1.1. 1) Notion de primitiveDenition.Soitf:I!Rune fonction denie sur un intervalleIdeR.
On appelle primitivedefsurItoute fonctionF:I!Rqui est derivable surIet telle queF0(x) =f(x) pour toutx2I.Par exemple :(i)p ourtout n2N, une primitive surRde la fonctionfdenie parf(x) =xnpour toutx2Rest la fonctionFdenie parF(x) =1n+1xn+1pour toutx2R;(ii)une primitiv esur Rde la fonctionfdenie parf(x) = cosxpour toutx2Rest lafonctionFdenie parF(x) = sinxpour toutx2R;(iii)une primitiv esur ]0 ;+1[ de la fonctionfdenie parf(x) =1xpour toutx2]0;+1[ estla fonctionFdenie parF(x) = lnxpour toutx2]0;+1[;(iv)une primitiv esur Rde la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-m^eme.Proposition.Soitf:I!Rune fonction denie sur un intervalleIdeR, admettant uneprimitiveFsurI.
Alors, une autre fonctionG:I!Rest une primitive defsi et seulements'il existe une constantek2Rtelle queG(x) =F(x) +kpour toutx2I.Demonstration.Par hypothese, il existeF:I!RveriantF0(x) =f(x) pour toutx2I.Supposons d'abord queG:I!Rest donnee parG(x) =F(x) +kpour toutx2I.
Il estclair queGest derivable surR(comme somme de la fonctionFqui est derivable surRet dela fonction constante egale akqui l'est aussi).
Pour toutx2I, on aG0(x) =F0(x) puisque laderivee d'une fonction constante est nulle, c'est-a-direG0(x) =f(x).
Ceci prouve queGest uneprimitive defsurI. 1) Reciproquement, supposons queGest une primitive defsurI. Pour toutx2I, on aG0(x) =f(x) =F0(x) donc, par linearite de la derivation, (GF)0(x) = 0.
Ceci prouve que la fonctionGFest constante sur l'intervalleI, donc qu'il existek2Rtel queG(x)F(x) =kpour toutx2I.Corollaire.Soitf:I!Rune fonction denie sur un intervalleIdeR, admettant des primitivessurI.
Pour touta2Iet toutm2R, il existe une unique primitiveF:I!RdefsurItellequeF(a) =m.Demonstration.SoitGune primitive quelconque defsurI.
Posonsk=mG(a)2R, et notonsF:I!Rla fonction denie pa
