Comment calculer application linéaire ?
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Propriétés.
Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).Comment trouver l'image d'une application linéaire ?
Définition Si f : E → F est une application linéaire, son image, notée Imf , est donc l'ensemble des vecteurs de F de la forme f (v) avec v ∈ E : Imf := {f (v)v ∈ E}.
L'image de la projection p := (x,y,z) ↦→ (x,y) de R3 sur son plan horizontal est justement ce plan horizontal, d'équation z = 0.Comment calculer le ker de F ?
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x f (x) = 0} = {x Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 . {y (−1 1 ) y ∈ R} = 〈 (−1 1 ) 〉.
Donc une base est (−1 1 ) .- Donc Kerf est de dimension 1 et une base est donnée par un seul vecteur : X − 1. 3.
Par le théor`eme du rang la dimension de l'image est : dim Imf = dimRn[X] − dim Kerf = (n + 1) − 1 = n.
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