Chapitre II Cinématique du point
\Cinématique et dynamique du point matériel\ Cours et exercices
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Mécanique du point matériel Cours et exercices
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Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009 1 Chapitre II Mouvement d'un point matériel. Cinématique. 1-Définitions 1. 1) Système On a vu la nature discontinue de la matière à l'échelle microscopique. Les différentes composantes élémentaires de la matière interagissent entre elles.

Cependant, dans un grand nombre de problèmes, il n'est pas nécessaire de prendre en compte cet aspect discontinu.

On peut adopter une description " macroscopique » où, tout en ignorant la structure microscopique de la matière, on isole par la pensée une partie du monde matériel qui devient un objet.

Ex : une balle qui tombe, une planète en mouvement autour du Soleil etc.

Le système physique est un objet ou un assemblage d'objets bien défini dont on étudie les propriétés statiques ou dynamiques, avec ou sans échange avec le reste du monde matériel qu'on appellera le " monde extérieur ».

Système fermé : système sans échange de matière avec l'extérieur ! masse constante (une cellule vivante qui échange des ions avec l'extérieur par osmose est un système ouvert) Système isolé : système sans échange du tout (ni matière, ni énergie) ! masse constante et énergie constante. Remarque : Dans ce cours, on se limitera aux systèmes mécaniques.

On peut définir un système en thermodynamique, quand on tient compte des échanges de chaleurs possibles.

On définira alors l'énergie interne d'un système, qui est constante si le système est isolé. 1.

2) Cinématique et Dynamique Ce chapitre est une partie de la " Mécanique » : étude du mouvement et de l'équilibre des corps en relation avec les actions exercées sur eux par le " monde extérieur ».

Cette étude se découpe en deux : cinématique et dynamique.

La Cinématique vise à décrire les mouvements (trajectoire d'un mobile, équation horaire, vitesse, accélération etc.) sans se préoccuper des causes qui les provoquent.

Elle repose cependant sur les notions physiques de l'espace et du temps.

Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009 2 La Dynamique s'intéresse aux forces qui provoquent les mouvements.

La masse du système en mouvement intervient alors dans l'étude de son mouvement. 1.

3) Solide et point matériel Un solide est un objet considéré comme indéformable dans le problème étudié.

C'est-à-dire que la distance entre deux points quelconques est fixe (constante).

C'est en fait une idéalisation. Exemple : une balle de tennis est moins rigide qu'une boule de pétanque ou une toupie en bois, mais c'est un solide si on étudie son mouvement de translation et sa rotation et pas sa déformation. Pour repérer un solide, il faut spécifier la position de son centre d'inertie (ou centre de masse, ou barycentre) et son orientation par rapport à un repère fixe du laboratoire.

Cela se fait par les 3 coordonnées du centre de masse et 3 angles qui caractérisent trois rotations faisant passer trois axes fixes liés au solide aux trois axes fixes).

Il peut se déplacer par rapport à ce repère et tourner sur lui-même (rotation). Si l'on ne s'intéresse pas au mouvement de rotation de l'objet mais seulement au déplacement de son centre d'inertie, on peut alors négliger ses dimensions et l'assimiler à un point matériel affecté de sa masse totale.

C'est une idéalisation.

On peut dire que le point matériel est un objet matériel (possédant une masse) dont on peut négliger les dimensions dans le problème étudié et qui ne tourne pas sur lui-même.

Exemple : - une bille qui roule n'est pas représentée par un point matériel - Un satellite tournant autour de la Terre peut être décrit par un point matériel si on n'a pas besoin de spécifier son orientation (symétrie sphérique ou isotropie) mais seulement sa position. La position d'un point matériel est donnée par 3 paramètres : les 3 coordonnées de position du point dans l'espace.

On dit qu'il possède 3 degrés de liberté de mouvement. En revanche, le solide possède 6 degrés de liberté (3 de translation, 3 de rotation).

Dans ce qui suit, on s'intéressera surtout au mouvement d'un point matériel, on dit aussi celui d'un mobile considéré comme un point. Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009 3 1.

4) Espace et temps d'un observateur Espace L'espace physique correspond à un espace euclidien à 3 dimensions.

C'est l'espace géométrique habituel (Par un point extérieur à une droite, il ne passe qu'une droite parallèle à celle-ci) où l'on peut repérer la position d'un point par ses 3 coordonnées.

En fait, dans la théorie de la Relativité Générale d'Einstein, il existe un écart entre la géométrie de l'espace-temps et la géométrie euclidienne, mais cet écart est très faible à la surface de la Terre.

On n'a ici qu'une excellente approximation.

Pour la Mécanique Classique (objets de vitesses faibles devant celle de la lumière) on pourra rapporter l'espace physique à l'espace euclidien.

Les longueurs seront mesurées en mètre dans les unités S.I. Temps L'écoulement du temps est une notion intuitive.

En effet, intuitivement on sait établir une chronologie pour la succession des évènements. Le temps sert à dater les évènements.

Un instrument qui permet de dater est une horloge (ou chronomètre). Origine du temps : un événement choisi comme référence. Le temps ne peut qu'augmenter donc il ne peut varier que dans le sens positif mais il peut prendre des valeurs négatives (on dit moins 5 minutes par rapport à une heure prise comme origine par exemple) A priori, n'importe quel phénomène évolutif peut-être utilisé pour mesurer le temps : un sablier, une clepsydre, la position apparente du soleil par rapport à la Terre (cadran solaire) mais on peut admettre une exigence supplémentaire à cause de l'écoulement uniforme du temps.

Pour définir l'unité du temps, on choisira un phénomène régi par une loi physique invariante dans le temps (invariante par translation dans le temps).

Les phénomènes périodiques permettent de vérifier si l'on a des intervalles égaux et de définir une chronologie.

Par exemple, le jour solaire, qui est l'intervalle de temps séparant deux passages successifs d'un point de la Terre devant le Soleil, moyenné sur un an a servi à définir la seconde jusqu'en 1960 : 1 seconde =1/86400 jour solaire moyen .

En fait le mouvement de rotation de la Terre sur elle-même se ralentit à cause du frottement de la marée. Le jour, donc l'unité de temps, se dilate, ce qui entraîne une accélération apparente des astres.

On est Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009 4 amené à changer la définition de la seconde à l'aide d'une horloge atomique à cesium (9 192 631 770 périodes du rayonnement correspondant à une transition entre 2 niveaux hyperfins de 133Cs dans son état fondamental). 2- Référentiel.

Relativité du mouvement. Parler du mouvement, c'est nécessairement parler de déplacement relatif par rapport à quelque chose qui sert de référence fixe.

On peut être immobile dans un train qui avance sur la Terre.

Les physiciens décriront toujours le mouvement d'un mobile par rapport à un " observateur » lié de manière fixe à un solide indéformable (R) appelé " référentiel ».

En fait c'est tout l'espace fixe par rapport à l'observateur. Deux observateurs dans deux référentiels différents voient différemment le même mouvement.

Par exemple, on parle du " référentiel du laboratoire » = les murs du laboratoire où se trouve l'observateur immobile Autre exemple : un observateur 1 immobile sur le trottoir, un observateur 2 à bicyclette sur la route, un observateur 3 dans un train qui passe sur une voie ferrée parallèlement à la route.

Pour l'obs. 3, le cycliste recule alors qu'il avance pour l'obs. 1.

Pour l'obs. 1, un point de la roue décrit une courbe cycloïde. En Mécanique Classique, le temps est absolu : il est le même quel que soit le référentiel.

Deux observateurs dans des référentiels différents attribuent les mêmes dates aux mêmes évènements.

Ceci n'est vrai que pour des vitesses relativement faibles devant celle de la lumière.

Pour des vitesses plus grandes, la Relativité restreinte montre qu'on doit définir un temps pour chaque référentiel. 3- Description du mouvement d'un point matériel 3.

1) Vecteurs position, vitesse et accélération Vecteur position On se place donc dans un référentiel (R) donné.

Pour définir la position d'un point matériel placé en un point géométrique M, on doit choisir un point O fixe dans le référentiel (R) par rapport auquel on Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009 5 pourra la définir. La position du point M est alors définie par le vecteur lié (bipoint) OM!"!!!=r" appelé " vecteur position ».

Le choix du point fixe O est arbitraire.

Si on choisissait un autre point O' fixe pour repérer M, on aurait : r'!"=O'M!"!!!!=O'O!"!!!+OM!"!!!.

Le vecteur O'O!"!!! est un vecteur fixe dans (R).

Quand le point matériel se déplace, le point M se déplace et le vecteur OM!"!!!(t)=r"(t) varie en fonction du temps.

La courbe (C) décrite par le point M est la trajectoire du point matériel. s=M0M! abscisse curviligne mesure algébrique s=s(t) : équation horaire Attention, la trajectoire est une courbe définie indépendamment du temps. Si on a choisi un trièdre orthonormé (Oxyz) et si on connaît les lois horaires x(t), y(t), z(t) , on a 3 équations paramétriques de (C) et il est possible d'éliminer la variable temps (t) et obtenir une équation de la forme F(x,y,z)=0. Vecteur vitesse Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur OM!"!!!(t)=r"(t) : v!=dOM"!"""dt=!#r Soit M position du point à l'instant t et M' à l'instant infiniment voisin t'=t+!t!, !t=t'"t v!=lim!t"0MM'"!""""!t=lim!t"0OM'"!"""#OM"!"""!t=dOM"!"""dt=dr!dt Attention : Quand M est infiniment voisin de M', on a MM'!"!!!!!MM'# La vitesse est tangente à la trajectoire au point M. le vecteur dOM!"!!!est un vecteur d'orientation quelconque, pas forcément // OM!"!!!.

M0 M M' (C) O Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009 6 Vecteur accélération Dans un mouvement quelconque, la vitesse peut varier au cours du temps.

Elle change en tout point de la trajectoire en grandeur et en direction. Le vecteur accélération est défini comme la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : a!=dv!dt=d2OM"!"""dt2=d2r!dt2=!##r a!=lim!t"0v!(t')#v!(t)!t=lim!t"0!v!(t)!t=dv!dt Ces définitions sont données par rapport à un référentiel donné. Remarques : - Si on avait choisi un point O' fixe dans (R), différent de O, on aurait : Vecteur position r'!"=O'M!"!!!!=O'O!"!!!+OM!"!!!, O'O!"!!!fixe dans (R) Vitesse v'!"=dOM'!"!!!dt=dOO'!"!!!dt+dO'M!"!!!!dt=dOM!"!!!dt=v" on a donc v'!"=v" et a'!"=a" - Si (R1) se déplace en translation à la vitesse V!" par rapport à (R) considéré comme fixe. On a V!"=dOO1!"!!!dt , O1 et O fixes respectivement dans (R1) et dans (R) La vitesse relative du point M dans (R1) est donnée par : vr!"=dO1M!"!!!dt!"#$%&(R1)="#r1!"$%(R1) sa vitesse absolue : va!"!=dOM!"!!!dt!"#$%&(R)="#r!"$%(R) or va!"!=dOM!"!!!dt=dOO1!"!!!dt+dO1M!"!!!dt Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009 7 On a : va!"!=vr!"+V!" où V!" est la vitesse d'entraînement 3.

2) Repères et systèmes des coordonnées Les notions de position, vitesse et accélération d'un mobile M sont définies par rapport à un référentiel (R).

On peut soit manipuler des vecteurs, soit choisir d'utiliser leurs composantes par rapport à un repère donné, solidaire de (R).

Le choix du repère, comme celui de son origine, est arbitraire. Il est indépendant de la notion du mouvement. On le choisit de manière à simplifier les expressions mathématiques.

Il est généralement orthonormé. a) Composantes des vecteurs en coordonnées cartésiennes Dans (R), on choisit un point fixe O et trois axes orthogonaux ayant pour origine commune le point O, portant trois vecteurs unitaires ux!"!, uy!"!, uz!"! (de longueur unité).

On a alors un repère orthonormé ou un " trièdre rectangle » (O, ux!"!, uy!"!, uz!"! ), avec ui!"!ui!"=ui!"2=1i=x,y,z et ux!"!!uy!"!=uy!"!!uz!"!=uz!"!!ux!"!=0 Vecteur position : r!=OM"!"""=x!ux"!"+y!uy"!"+z!uz"!" Vecteur vitesse : v!=dOM"!"""dt=dxdt!ux"!"+dydt!uy"!"+dzdt!uz"!" v!="x!ux#!#+"y!uy#!#+"z!uz#!# (Notation dérivée par rapport à t) les composantes en coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse sont donc : vx=!x=x'(t)=dxdt;vy=!y=y'(t)=dydt;vz=!z=z'(t)=dzdt Vecteur accélération : a!=dv!dt=dvxdt!ux"!"+dvydt!uy"!"+dvzdt!uz"!"=##xux"!"+##yuy"!"+##z!uz"!" O z x y ux!"! uy!"! uz!"!M !rx y z Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009 8 les composantes en coordonnées cartésiennes du vecteur accélération sont donc : ax=!!x=x"(t)=dvxdt=d2xdt2!"#$%&;ay=!!y=y"(t)=dvydt=d2ydt2!"#$%&;az=!!z=z"(t)=dvzdt=d2zdt2!"#$%& Remarques : - les vecteurs position, vitesse, accélération sont définis pour le référentiel (R) dans lequel on observe le mouvement.

Les vecteurs ne dépendent pas du repère choisi.

En revanche, leurs composantes dépendent du repère choisi. - En physique, le choix arbitraire de l'origine et des axes découle de l'homogénéité (invariance par translation) et de l'isotropie (invariance par rotation) de l'espace. b) Composantes des vecteurs en coordonnées cylindriques Ces coordonnées sont adaptées pour décrire un problème à symétrie axiale d'axe Oz.Le plan (Ox, Oy) est le plan polaire perpendiculaire en O à Oz.

On choisit un axe polaire Ox et une orientation dans le plan polaire : le sens positif par rapport à l'axe Oz (règle de tire-bouchon : si on tourne un tire-bouchon dans le sens positif, il s'enfonce dans le sens de Oz). Un poi