Comment calculer les différentielle ?
n × Rm (un plan de R3 si n = 2, m = 1), est dit tangent au graphe de f.
Ainsi, par définition, si n = 1, f est dérivable en x SSI elle est différentiable en x et la différentielle est la multiplication par la dérivée. ) = − h x2 + o(h).Comment faire un calcul d'intégrale ?
La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction.
La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F′(x) = f(x).Pourquoi le calcul intégral ?
Le calcul intégral permet de définir la notion de valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle, très proche intuitivement de la notion de moyenne d'une série statistique.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b].
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b].- En mathématiques, le calcul différentiel est un sous-domaine de l'analyse qui étudie les variations locales des fonctions.
C'est l'un des deux domaines traditionnels de l'analyse, l'autre étant le calcul intégral, utilisé notamment pour calculer l'aire sous une courbe.
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L2 Parcours SpécialMaths - PhysiqueAnnée 2015 - 2016Calcul Différentiel et IntégralJulien RoyerTable des matières1 Fonctions de plusieurs variables.
Normes.1 1. 1) Fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. 1) Définition et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. 2) Graphe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. 3) Lignes de niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. 2) Normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. 3) Ouverts et fermés.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables11 2.
1) Limites de suites dansRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2. 2) Limite d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. 3) Continuité d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Dérivées partielles - Différentielle.17 3.
1) Dérivabilité pour une fonction deRdansRp . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. 2) Dérivées partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3. 3) Fonctions différentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. 4) Plan tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. 5) Vecteur gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. 6) Matrice jacobienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.7) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Fonctions de classeC1- Inégalité des accroissements finis.25 4.
1) Fonctions de classeC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 4. 2) Inégalité des accroissements finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5 Dérivées d"ordres supérieurs.
Application à l"étude d"extrema.29 5. 1) Dérivées partielles successives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5. 2) Formule de Taylor-Young à l"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5. 3) Formules de Taylor à tout ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5. 4) Application à l"étude des extremums locaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.5) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6 Composition de fonctions différentiables - Application aux EDP39 6.
1) Composition de fonctions différentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2 Équations aux dérivées partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.
3) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 iii7 Théorème du point fixe - Théorème de l"inversion locale45 7.
1) Théorème du point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7. 2) Théorème de l"inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.3) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8 Théorème des fonctions implicites51 9 Intégrales multiples57 9.
1) Intégrales à paramètres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9.1. 1) Théorème de convergence dominée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9.1. 2) Cas d"une intégrale sur un segment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9.1. 3) Cas d"une intégrale généralisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9. 2) Construction de l"intégrale de Riemann surRn. . . . . . . . . . . . . . . . .60 9. 3) Intégrale d"une fonction continue sur un domaine simple. . . . . . . . . . . . 61 9.3. 1) Intégration sur un domaine deR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 9.3. 2) Intégration en dimensions supérieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9. 4) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9.4. 1) Intégrales à paramètre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9.4.2) Intégrales multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 10 Changement de variables dans une intégrale multiple67 10.1 Énoncé du théorème et idées de démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . 67 10.
2) Exemples importants de changements de variables. . . . . . . . . . . . . . . 69 10.2. 1) Coordonnées polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 10.2. 2) Coordonnées cylindriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 10.2. 3) Coordonnées sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 10.3) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 11 Intégrales curvilignes73 11.
1) Formes différentielles de degré 1 sur un ouvert deRn. . . . . . . . . . . . . .73 11. 2) Intégrale d"une 1-forme le long d"une courbe paramétrée. . . . . . . . . . . . 75 11. 3) Intégrale d"une forme différentielle exacte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 11.4) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 12 Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann81 12.
1) Dérivée extérieure d"une 1-forme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 12. 2) Théorème de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 12. 3) Formule de Green-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 12.4) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 13 Sous-variétés deRn8913.
1) Définitions et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 13.1. 1) Définition par une équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 13.1. 2) Définition par coordonnée rectifiante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 13. 2) Plan tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 13. 3) Champs de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 13.4) Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 14 Vers le théorème de Stokes95 14.
1) Formesp-linéaires alternées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 14. 2) Formes différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 14. 3) Intégration d"une forme différentielle sur unep-courbe. . . . . . . . . . . . . 98 14. 4) Sous-variétés orientées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 14. 5) Sous-variétés à bords. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 14. 6) Dérivée extérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 14. 7) Gradient, divergence et rotationnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 14. 8) Théorème de Stokes : idée de démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 14.9) Cas particuliers importants pour le théorème de Stokes. . . . . . . . . . . . . 104 14.10Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Ce polycopié est le cours donné en deuxième année de licence (parcours spécial, spécialitésmathématiques et physique) à l"université Paul Sabatier (Toulouse 3).Ces notes de cours ô combien imparfaites ne prétendent à aucune originalité.
Elles sontdisponibles en ligne pour le confort des étudiants (et de l"enseignant), mais si par hasard ellespeuvent servir à d"autres, c"est tant mieux!Le découpage en 12 chapitres plus ou moins équitables correspond aux 12 semaines quicomposaient le module.
Les chapitres 13 et 14 ont été au programme de ce cours avant d"êtreretirés, mais puisqu"ils existent, autant en profiter Année 2015-2016 vL2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégralvi J.
Royer - Université Toulouse 3Chapitre 1Fonctions de plusieurs variables.Normes.Le but principal de ce cours est d"étudier les fonctions de plusieurs variables.
En premièreannée vous avez vu les fonctions d"une seule variable, où un paramètre réel (qui physique-ment peut représenter une température, une pression, une densité massique, volumique, etc.)dépend d"un autre paramètre, également réel (le temps, une abscisse, etc.).Ici s"intéressera donc à des fonctions de plusieurs paramètres réels.
Par exemple, on peutvouloir étudier la température, la pression ou la densité volumique en fonction de la positiondans l"espace (3 dimensions), de la position et de la vitesse (par exemple quelle est la densitéde particules qui se trouvent à cet endroit et qui vont dans telle ou telle direction, ce quifait 6 dimensions), on peut également s"intéresser à la dépendance par rapport au temps(une dimension supplémentaire).
Enfin la quantité étudiée peut dépendre de la position deNobjets, auquel cas on doit travailler avec3Ndimensions.
Bref, les exemples ne manquentpas Notre exemple favori dans ce cours sera celui d"une altitude dépendant de deux para-mètres (latitude et longitude ou, de façon plus abstraite,xety).
Il s"agit donc d"une fonctionsur un domaine deR2et à valeurs dansR.L"intérêt est que le graphe de cette fonctioncorrespond exactement à la montagne que l"on est en train d"escalader.Mathématiquement, on devra donc étudier des fonctions qui ne sont plus définies sur unintervalle (ou une partie quelconque) deR, mais sur un domaine deRnpour un certainn2N.L"espace d"arrivée pourra êtreRou bienRppour un certainp2N, si la quantité qui nous in-téresse est elle-même multi-dimensionnelle.
On verra que le fait d"avoir plusieurs dimensionsà l"arrivée n"est pas très génant, alors que le fait d"avoir plusieurs dimensions au départ vaposer un certain nombre de difficultés nouvelles par rapport à ce que vous connaissez.Les princi