Introduction au Calcul Différentiel etIntégral(avec des problèmes resolus)©ARIANNOVRUZIDepartment of Mathematics and StatisticsUniversity of OttawaNovember 25, 2019Contents1 Revision des concepts de base6 1.
1) Notations et quelques résultas élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.1. 1) Nombres, intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.1. 2) Fonctions, domaine de définition, image et graphe de fonctions . . . . . . .7 1.1.
3) Opérations avec les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.1.4 Équations, inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.1.
5) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1. 2) Examples de fonctions: leurs propriétés et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1.2. 1) Fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1.2. 2) Puissances et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.2. 3) Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.2. 4) Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 1.2. 5) Fonctions rationnelles et algèbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 1.2. 6) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 1. 3) Modélisation. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 1.3. 1) Quelques notions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 1.3.
2) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 2 Limite, continuité.
Applications26 2. 1) Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.1. 1) Quelques définitions et résultats élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.1. 2) Assymptôtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 2.1. 3) Limites de forme indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 2.1. 4) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 2. 2) Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 2.2. 1) Notations and quelques propriétés simples . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 2.2. 2) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 2. 3) Applications de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 2.3. 1) Séries géometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 2.3.1. 1) Notations, définitions et résultats élémentaires . . . . . . . . . .42 2.3.1. 2) Séries de paiement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 2.3.1. 3) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 2.3. 2) Composition de l"intérêt et nombree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 2.3.2. 1) Composition de l"intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 2.3.2. 2) Nombree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 2.3.2. 3) Composition continue de l"intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . .48 2.3. 3) Fonctions exponentielle et logarithmique. Propriétés élémentaires . . . . .49 2.3.3. 1) La fonction exponentielleet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 2.3.3. 2) La fonction logarithmiquelnx. . . . . . . . . . . . . . . . . .49 2.3.3. 3) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 23 Calcul différentiel. Applications58 3. 1) La dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 3.1. 1) Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 3.1. 2) Quelques définitions et résultats élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . .60 3.1. 3) Dérivée et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 3.1. 4) Une première application: équation de la droite tangente . . . . . . . . . .63 3.1. 5) Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 3.1. 6) Dérivation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 3.1. 7) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 3. 2) Autres applications de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 3.2. 1) Applications kinématiques: vitesse, accélération . . . . . . . . . . . . . .72 3.2. 2) Applications financières: marginaux, élasticité de la demande . . . . . . .74 3.2. 3) Taûx liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 3.2. 4) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 3. 3) Optimisation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 3.3. 1) Definitions. Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 3.3. 2) Intervalles de monotonie. Classification des points critiques I . . . . . . . .81 3.3. 3) Intervalles de concavité. Classification des points critiques II . . . . . . . .84 3.3. 4) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 3.3. 5) Modélisation et optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 3.3. 6) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 3. 4) Tracer le graphe d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 3.4.
1) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 4 Calcul intègral102 4.
1) Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 4.
2) Integrale indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 4.2.
1) Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 4.2. 2) Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 4.2. 3) Téchniques d"intégration (intègrales indéfinies) . . . . . . . . . . . . . . .105 4.2.3. 1) Changement de variable / substitution . . . . . . . . . . . . . . .106 4.2.3. 2) Intérgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 4.2. 4) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 4.
3) Intègrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 4.3.
1) Définitions et premiers résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 4.3. 2) Théorème fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 4.3. 3) Téchniques d"intègration (intègrales définies) . . . . . . . . . . . . . . . .113 4.3. 4) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 4. 4) Application de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 4.4. 1) L"aire d"une région bornée par deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . .115 4.4. 2) Les surplus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 4.4. 3) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 34. 5) Valeur future et valeur présente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 4.5.
1) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 5 Calcul multi-dimensionnel126 5.
1) Rappels de quelques éléments de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 5. 2) Fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 5. 3) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 5.
4) Continuité et les dérivées des fonctions à deux variables . . . . . . . . . . . . . . .130 5.4.
1) Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 5.4. 2) Les dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 5.4. 3) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 5. 5) Le plan tangent et l"apporiximation avec le plan tangent . . . . . . . . . . . . . . .133 5.5. 1) Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 5. 6) Optimisation à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 5.6.
1) Problèmes . . . . . . . .
