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TD 2 { Espaces de Banach

Comment montrer qu'un espace est un espace de Banach ?
Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé E est un espace de Banach, la méthode usuelle est la suivante : on considère une suite (xn) de Cauchy de E . on fabrique une limite possible de la suite (xn) , que l'on notera x .
Bien souvent, pour ce point, on utilise qu'un autre espace est complet.
Est-ce que R est un espace de Banach ?
Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach.
Par exemple, (R,⋅) , (C,⋅) sont complets.
Comment prouver qu'un espace est complet ?
Un espace métrique est complet si et seulement si toute suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0 a une intersection non vide (voir Théorème des fermés emboîtés).
Une application ∥⋅∥:E→R+ ‖ ⋅ ‖ : E → R + est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tout x∈E x ∈ E , ∥x∥=0⟺x=0 ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 .
Pour tout x∈E x ∈ E et tout λ∈K λ ∈ K , ∥λx∥=λ⋅∥x∥ ‖ λ x ‖ = λ ⋅ ‖ x ‖ (homogénéité).

Comment montrer qu'un espace est un espace de Banach ?