Comment calculer la différentielle ?
Lorsque n = m = l = 1, la différentielle de g◦f est la multiplication par (g◦f) (x);dgf(x) est la multiplication par g (f(x)) et dfx est la multiplication par f (x).
Si on en croit ce qui préc`ede, on trouve : (g ◦ f) (x) = g (f(x)) · f (x).
On retrouve la formule de la dérivée de la composée habituelle.Comment calculer la différentielle d'une fonction en un point ?
Définition : Si une fonction y = f ( x ) est dérivable en tout point d'un intervalle on définit la différentielle de cette fonction par : d f = f ′ ( x ) Δ x où est un accroissement arbitraire de la variable.
Comment calculer la différentielle d'une fonction à plusieurs variables ?
Si f est différentiable en tout point de U on dit que f est différentiable sur U, et on définit sa différentielle df par df : x ↦→ df(x).
Exemple : Une fonction de la variable réelle est différentiable si et seulement si elle est dérivable.
Sa différentielle est alors l'application h ↦→ df(a)(h) = hf (a). dfi(a)(h)vi.- Une équation différentielle est une équation qui établit un lien entre une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées.
Ce qui veut dire que la solution d'une équation différentielle est une fonction
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Calcul Dierentiel AvanceparEmmanuel HebeyUniversite de Cergy-PontoiseAnnee 2017-201819 janvier 2018CDA 2017-2018.
Chapitre 1.IntroductionUne m^eme histoire dans dierents contextesCDA 2017-2018. Chapitre 1.Chapitre 1Fonctionsf:R!R1. Fonctions continuesDenitionSoitDRun sous ensemble deRetf:D!Rune fonctionreelle denie surD. Soita2Dun point deD.On dit quefestcontinue au pointasi l'une des trois conditions equivalentessuivantes est veriee :(i)limx!af(x) =f(a),(ii)8" >0;9 >0=8x2D;jxaj< ) jf(x)f(a)j< ",(iii) pour toute suite(xn)nde points deDveriant quelimn!+1xn=a, on a forcement quelimn!+1f(xn) =f(a).On dit quefest continue surDlorsquefest continue en toutpoint deD.CDA 2017-2018.
Chapitre 1.(.1) La limite dans (i) s'entend pour lesx2D, le domaine dedenition de la fonction (il est toujours sous entendu que lafonction est inconnue et non denie en dehors de son domaine dedenitionDm^eme si, dans les faits, il peut arriver qu'on laconnaisse en dehors deD, par exemple parce qu'elle provient d'uneformule explicite).(.
2) Dans le cas ouD= [a;b]cette denition inclue les notions decontinuite a droite enaet de continuite a gauche enb.(.
3) Intuitivement la continuite d'une fonction reelle sur unintervalle signie que l'on peut tracer le graphe de cette fonction\sans lever la main".(.
4) On verie facilement avec (i) que sifetgsont deux continuesen un pointa, alorsf+g,fgetfg(des lors queg(a)6= 0) sontaussi continues ena.
De m^eme sifest continue ena, et sigestcontinue enf(a), alorsgfest continue ena.(. 5) Les fonctionsxn,cos,sin,exp,ln, etc. sont continues (la ouelles sont denies).CDA 2017-2018.Chapitre 1.Preuve de l'equivalence de (i)-(iii) dans la denition :Le point (ii)est la traduction mathematique exacte du point (i).
Par denition(i) et (ii) sont equivalents.Montrons maintenant l'equivalence de(i) et (iii).Il est deja clair que (i))(iii).Supposons en eet (i) etsoit (xn)nune suite de points deDqui converge versa.Alors (xn)nest aussi proche que l'on veut deapourvu quensoit susammentgrand tandis quef(x) est aussi proche que l'on veut def(a)pourvu quexsoit susamment proche dea.On en deduitfacilement quef(xn) est aussi proche que l'on veut def(a) pourvuquensoit susamment grand.D'ou l'armation que (i) implique(iii).CDA 2017-2018.
Chapitre 1.Preuve suite :Reciproquement supposons (iii) et montrons (i).Comme (i) et (ii) sont equivalentes, on peut se \borner" a montrerque (iii))(ii).Pour cela on va raisonner par l'absurde.Onsuppose donc a la fois (iii) et le contraire de (ii), a savoir :9" >0=8 >0;9x2Dveriantjxaj< etjf(x)f(a)j " :On se donne une suite ("n)nde reels strictement positifs qui tendvers 0 lorsquen!+1.Pour toutnon pose="n.On obtientalors une suite (xn)nde points deDqui verie(0 jxnaj< "n;jf(xn)f(a)j " ;pour toutn2N.La premiere de ces deux relations entra^ne quelimn!+1xn=a:CDA 2017-2018.
Chapitre 1.Preuve n :En ayant suppose (iii) cela implique quelimn!+1f(xn) =f(a):Mais cette derniere armation est en desaccord total avec laseconde equation du systeme precedent.D'ou une contradiction eton a bien que (iii))(ii).Les trois armations de la denitionsont bien equivalentes.
CQFDCDA 2017-2018.Chapitre 1.Proposition (Une application de la continuite)SoientIRun intervalle deR,f:I!Rune fonction reelledenie et continue surI, eta Chapitre 1.Preuve :Supposons quef(a)<0 etf(b)>0.NotonsJ=t2[a;b]=8t02[a;t];f(t0)<0:ClairementJest un sous intervalle non vide (a2J) deI.Notonscla borne droite deJ.On aa Chapitre 1.Preuve suite et n :Par continuite defenc:(iii) sif(c)<0 alorsf<0 dans un intervalle du type [c;c+"](iv) sif(c)>0 alorsf>0 dans un intervalle du type [c";c] .Dans le premier cascne serait pas la borne droite deJcar onaurait en fait [a;c+"]J.Dans le second cascne seraittoujours pas la borne droite deJcar cette fois-ci on auraitJ[a;c"].Donc, forcement,f(c) = 0. Chapitre 1.(i) Il y a cachee derriere cette preuve une notion topologiqueimportante : la connexite (les intervalles deRsont connexes et lesconnexes deRsont des intervalles). Le resultat est trivialementfaux si on ne suppose plus queIest un intervalle (penser augraphe de la fonction inversex!1xsurI=] 1;0[S]0;+1[.(ii) Le resultat est intuitif. Dans le trace du graphe def, si on partd'un point(a;f(a))avecf(a)<0pour rejoindre un point(b;f(b))avecf(b)>0, et s'il est interdit de lever la main, alors ilfaudra bien couper l'axe desxa un moment.A noter : rienn'interdit de le couper plusieurs fois. Chapitre 1.Theoreme (Topologie et continuite (suite))SoientI= [a;b]un intervalle ferme borne deRetf:I!Runefonction reelle denie et continue surI. Chapitre 1.Preuve :Cette fois-ci c'est la notion de compacite qui se cachederriere ce resultat.Les intervalles fermes bornes deRsont descompacts et donc (en topologie metrique) des ensembles ayant lapropriete que toute suite de points dans l'ensemble possede unesous suite convergente).Montrons par exemple quefet majoree etpossede un point de maximum dans [a;b].NotonsM= borne supff(x);x2[a;b]g:On note traditionnellementM= supx2If(x).Par denitionMestle plus petit des majorants de l'ensembleff(x);x2[a;b]g R(etpossiblement, a ce stade de la preuve, on pourrait avoirM= +1).On a alors(i)8x2[a;b],f(x)M(ii)8" >0,9x2IavecM"f(x)MsiM<+1(iii)8R>0,9x2Iavecf(x)RsiM= +1.Prenons une suite ("n)nde reels strictement positifs qui tend vers0 lorsquen!+1.CDA 2017-2018. Chapitre 1.Preuve suite et n :En prenant"="ndans le cas (ii), etR=1"ndans le cas (iii), et ce pour toutn, on obtient immediatement unesuite (xn)nde points deIqui verie quelimn!+1f(xn) =M:CommeIest ferme borne, il existe une sous suite (x'(n))nde(xn)nqui est convergente.Notonsxsa limite de sorte quelimn!+1x'(n)=x.Toute sous suite d'une suite convergente etantconvergente et de m^eme limite, on a aussi quelimn!+1f(x'(n)) =M:Commefest continue (en particulier enx) on peut ecrire (voir lapremiere denition) que limn!+1f(x'(n)) =f(x).D'ouf(x) =M.En particulierM<+1et, avec (i), le theoreme estdemontre. Chapitre 1.Un autre resultat frequemment associe a la compacite : siI= [a;b]est un intervalle ferme borne deRetf:I!Rest unefonction reelle denie et continue surI, alorsfest en faituniformement continue surI.CorollaireSoientI= [a;b]un intervalle ferme borne deRetf:I!Runefonction reelle