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LICENCE DE MATHEMATIQUES 3 eme ann ee ESPACES VECTORIELS NORMES

Comment montrer un espace vectoriel normé ?
Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace L^p(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé.
Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt ℓ^p(X).
C'est quoi la norme en math ?
En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs.
Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe.
Comment montrer qu'une fonction est une norme ?
Une application ∥⋅∥:E→R+ ‖ ⋅ ‖ : E → R + est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tout x∈E x ∈ E , ∥x∥=0⟺x=0 ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 .
La norme d'un espace vectoriel normé (e.v.n.) est une donnée supplémentaire qui va nous permettre de dire quand des points vont être proches au sein de cet espace, c'est-à-dire que cela va nous donner une notion de distance sur l'espace.

Comment montrer un espace vectoriel normé ?