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Chapitre 7 Espaces vectoriels norm´es; espaces de Banach

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  • Comment montrer qu'un espace est de Banach ?

    Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé E est un espace de Banach, la méthode usuelle est la suivante : on considère une suite (xn) de Cauchy de E . on fabrique une limite possible de la suite (xn) , que l'on notera x .
    Bien souvent, pour ce point, on utilise qu'un autre espace est complet.

  • Est-ce que R est un espace de Banach ?

    Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach.
    Par exemple, (R,⋅) , (C,⋅) sont complets.

  • Comment montrer un espace vectoriel normé ?

    Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace Lp(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé.
    Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt ℓp(X).

  • Une application ∥⋅∥:E→R+ ‖ ⋅ ‖ : E → R + est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tout x∈E x ∈ E , ∥x∥=0⟺x=0 ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 .

Chapitre 2 : espaces de Banach
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