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Chapitre 2 : espaces de Banach

Comment montrer qu'un espace est de Banach ?
Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé E est un espace de Banach, la méthode usuelle est la suivante : on considère une suite (xn) de Cauchy de E . on fabrique une limite possible de la suite (xn) , que l'on notera x .
Bien souvent, pour ce point, on utilise qu'un autre espace est complet.
Est-ce que R est un espace de Banach ?
Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach.
Par exemple, (R,⋅) , (C,⋅) sont complets.
Comment savoir si un ensemble est compact ?
Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a]N, qui est compact.
Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
Un espace métrique est complet si et seulement si toute suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0 a une intersection non vide (voir Théorème des fermés emboîtés).

Comment montrer qu'un espace est de Banach ?