Calcul distribué : une introduction
Chapitre 6
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Calcul Intégral et DifférentielJ.

MellerayUniversité Lyon ISemestre de printemps 2013-2014Avertissement.Ces notes comportent certainement leur lot d"erreurs plus ou moins graves.

Le cours ne sui-vra pas exactement les notes, qui sont suceptibles d"évoluer au cours du semestre.

Remarques, commentaires,questions, corrections, etc. sont les bienvenus.Les mots qui apparaissent dans un cadre rouge sur le fichier pdf sont cliquables (par exemple, dans la tabledes matières, pour passer à la section correspondante; ou dans l"index, pour retrouver les endroits où apparaîtun terme particulier).Table des matières1 Intégrale des fonctions continues par morceaux 11.

1) Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.

2) Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.

3) Intégrale des fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.

4) Propriétés fondamentales de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2 Rappels: équivalents, développements limités 132.

1) Equivalents et comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2.

2) Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 3 Intégrales impropres193.

1) Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 3.

2) Intégrales impropres de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 3.

3) Intégrales impropres et séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 4 Suites d"intégrales; intégrales à paramètre 254.

1) Convergence uniforme et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 4.

2) Convergence monotone et convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 4.

3) Preuve du théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 4.

4) Echanges série-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 4.

5) Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 5 Fonctions de plusieurs variables 355.

1) Rappels de topologie en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 5.

2) Fonctions continues de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 5.

3) Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 5.

4) Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 5.

5) Gradient, hessienne et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 5.

6) Difféomorphismes de classeC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 5.

7) Théorème d"inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 5.

8) Théorème d"inversion globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 5.

9) Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 6 Intégrale double536.

1) Intégration sur un domaine compact du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 6.

2) Intégrales doubles sur des ouverts du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Chapitre 1Intégrale des fonctions continues parmorceaux1.

1) RappelsDéfinition 1.1.SoitIun intervalle deR.

Une fonctionf:I!Cestcontinue enx2Isi8" >09 >08y2Ijxyj ) jf(y)f(x)j " :On dit quefestcontinue surIsifest continue enxpour toutx2I.Remarque 1.2.Cette définition s"applique bien sûr également pour les fonctions à valeurs réelles, qui sont uncas particulier de fonctions à valeurs dansC.

Dans ces notes, à chaque fois qu"il sera écrit " Soitf:I!C», ilfaut penser qu"on parle d"une fonction à valeurs réelles ou complexes.Attention, la notion de continuité estlocale: elle dépend du pointxoù l"on se place.

En particulier, dansla définition ci-dessus,dépend à la fois dexet de".

Quand on peut choisirne dépendant que de", on parled"uniforme continuité.Définition 1.3.SoitIun intervalle deR, etf:I!C.

On dit quefestuniformément continuesurIsi8" >09 >08x;y2Ijxyj ) jf(y)f(x)j " :En général, une fonction continue sur un intervalleIn"est pas uniformément continue, comme le montrel"exercice suivant.Exercice 1.4.Soitf: ]0;+1[!Rdéfinie parf(x) =1x.

Montrer quefest continue mais pas uniformémentcontinue.

Montrer qu"il en va de même de la fonctionx7!x2, définie surRtout entieri.Néanmoins, il existe un cas très important où la continuité est équivalente à l"uniforme continuité.Théorème 1.5.SoitI= [a;b]unsegment, i.e. un intervalle fermé borné deR, etf:I!Cune fonctioncontinue surI.

Alorsfest uniformément continue surI.Démonstration.Supposons quefne soit pas uniformément continue sur[a;b]: alors il existe" >0tel que, pourtout entiern, on peut trouverxnetyndansIavecjxnynj 1nmaisjf(xn)f(yn)j ".

Grâce au théorèmede Bolzano-Weierstrass, on peut trouver une application strictement croissante':N!Ntelle que les suites(x'(n))et(y'(n))soient toutes les deux convergentes.

Comme'(n)n, on ajx'(n)y'(n)j 1'(n)!0quandntend vers+1, donc(x'(n))et(y'(n))convergent vers le même pointx.

Puisquejf(x'(n))f(y'(n))j ", ilest impossible que les deux suitesf(x'(n))etf(y'(n))convergent toutes deux versf(x).

Par conséquentfn"estpas continue enx, doncfn"est pas continue surI.On vient de montrer que sifn"est pas uniformément continue surIalorsfn"est pas continue surI, ce quiest la même chose que montrer que sifest continue surIalorsfest uniformément continue surI.i.

Question subsidiaire : quels polynômes sont uniformément continus surR?1On a vu que l"idée de la continuité uniforme était que, pour un"fixé, lequi témoigne de la continuitédevient indépendant du point où l"on se place.

La même idée se retrouve quand on considère des suites defonctions.Définition 1.6.SoitIun intervalle deR,(fn)une suite de fonctions définies surIà valeurs dansCetf:I!C.On dit que(fn)converge simplementversfsurIsi pour toutx2Ila suite(fn(x))converge versf(x).

Enutilisant des quantificateurs :8" >08x2I9N8nNjfn(x)f(x)j " :Comme dans la définition de la continuité,Ndépend a priori de"etdex; quand il est possible de choisirunNqui ne dépend que de", on dit qu"il y aconvergence uniforme.Définition 1.7.SoitIun intervalle deR,(fn)une suite de fonctions définies surIà valeurs dansCetf:I!C.On dit que(fn)converge uniformémentversfsurIsi8" >09N8x2I8nNjfn(x)f(x)j " :De manière équivalente,(fn)converge uniformément versfsurIsi la suitesupIjfnfjconverge vers0quandntend vers+1.La convergence uniforme est bien plus forte que la convergence simple; si lesfnsont des fonctions sympa-thiques (par exemple, continues) convergeant uniformément versf, on peut espérer quefait également despropriétés sympathiques.

Le théorème suivant en est un exemple important.Théorème 1.8.SoitIun intervalle deR, et(fn)une suite de fonctions continues surIà valeurs dansCconvergeant uniformément versf:I!C.

Alorsfest continue.Démonstration.Fixonsx2Iet" >0.

Il existeNtel que8y2I8nNjfn(y)f(y)j " :Fixons un telN; commefNest continue enx, il existetel que pour touty2Isatisfaisantjxyj on aitjfN(y)fN(x)j ".Par conséquent, pour touty2Isatisfaisantjxyj on ajf(x)f(y)j=jf(x)fN(x) +fN(x)fN(y) +fN(y)f(y)j jf(x)fN(x)j+jfN(x)fN(y)j+jfN(y)f(y)j3" :Comme" >0etxétaient quelconques, cela suffit à prouver quefest continue surI.Remarque 1.9.Dans la preuve, on a eu besoin de l"inégalité triangulaire, qui affirme que, étant donnés deuxcomplexesaetb, on aja+bj jaj+jbj.

Cette inégalité est fondamentale en analyse; elle tire son nom du faitqu"elle exprime analytiquement le fait que, dans un triangle, la longueur d"un côté est toujours plus courte quela somme des longueurs des deux autres côtés - conséquence du fait que le plus court chemin entre deux pointsest une ligne droite.Exercice 1.10.SoitIun segment, deR,(fn)une suite de fonctions à valeurs complexes convergeant unifor-mément versfsurI, et(gn)une suite de fonctions à valeurs complexes convergeant uniformément versgsurI.

Montrer que(fngn)converge uniformément versfgsurI.1. 2) Intégrale des fonctions en escalierDéfinition 1.11.Soienta < bdeux réels.

Unesubdivisionde[a;b]est une suite finie(a0;a1;:::;an)telle quea0=a,an=betai< ai+1pour touti2 f0;:::;n1g.

On définit lepasd"une subdivision(a0;a1;:::;an)comme étant égal à la quantitémaxfai+1ai:i2 f0;:::;n1gg.Intuitivement, considérer une subdivision(a0;:::;an)revient à considérer un découpage de[a;b]enninter-valles[a0;a1];:::;[an1;b]; dire que le pas de la subdivision est petit signifie que tous les intervalles créés lorsdu découpage sont petits.

2) Définition 1.12.Soienta < bdeux réels, et(a0;:::;an),(b0;:::;bm)deux subdivisions de[a;b].

On dit que(b0;:::;bm)raffine(a0;:::;an)si chaque intervalle[bj;bj+1]est contenu dans un invervalle de la forme[ak;ak+1].Cela signifie que la subdivision(b0;:::;bm)a été obtenue en découpant les intervalles de la subdivision(a0;:::;an).Exercice 1.13.Soienta < bdeux réels, et(a0;:::;an)et(b0;:::;bm)deux subdivisions de[a;b].

Alors il existeune subdivision(c0;:::;cp)qui raffineà la fois(a0;:::;an)et(b0;:::;bm).(Indication :c0;:::;cppeuvent par exemple être obtenus en écrivant dans l"ordre croissant l"ensemblefa0;:::;an;b0;:::;bmg)Définition 1.14.Soienta < bdeux réels;f: [a;b]!Cest unefonction en escaliers"il existe une subdivision(a0;:::;an)de[a;b]telle quefsoit constante sur chaque intervalle]ai;ai+1[.

On dit que(a0;:::;an)témoignedu fait quefest en escalier, ou encore est unesubdivision adaptéeàf.Proposition 1.15.1.Une fonction en esc alierne pr endqu"un nombr efini de valeurs. 2.Une c ombinaisonliné airede fonctions en esc aliersur [a;b]est une fonction en escalier sur[a;b].3.Un pr oduitde fonctions en esc aliersur [a;b]est une fonction en escalier sur[a;b].Démonstration.La première propriété découle immédiatement de la définition.

Les preuves des deuxièmes ettroisième propriétés sont très similaires, on va simplement montrer la troisième.

Soient doncf;gdeux fonctionsen escalier,(a0;:::;an)une subdivision qui témoigne du fait quefest en escalier et(b0;:::;bm)une subdivisionqui témoigne du fait quegest en escalier.

Par l"exercice précédent, on peut trouver une subdivision(c0;:::;cp)qui raffine ces deux subdivisions.

Etant donnéientre0etp1, il existej;ktel que[ci;ci+1]soit contenu dans[aj;aj+1]et dans[bk;bk+1]. En particulier, les deux fonctionsfetgsont constantes sur]ci;ci+1[, doncfgy estconstante aussi.

Ainsi, la subdivision(c0;:::;cp)témoigne du fait quefgest une fonction en escalier.Définition 1.16.Soienta < bdeux réels,f: [a;b]!Cune fonction en escalier, et= (a0;:::;an)unesubdivision adaptée àf.

On poseI(f;) =n1Xk=0(ak+1ak)fak+ak+12:Remarque 1.17.Dans la définition deI(a;), on aurait pu remplacerak+ak+12par n"importe quel point de]ak;ak+1[sans changer la valeur deI(a;).Lemme 1.18.Soienta < bdeux réels,f: (a;b]!Cune fonction en escalier, et;deux subdivisions adaptéesàf.

AlorsI(f;) =I(f;).Démonstration.Commençons par le cas où= (b0;:::;bm)raffine= (a0;:::;an). Alors il existej0;:::;jntels que pour toutk2 f0;:::;ngon aitbjk=ak(en particulierj0= 0,jn=m).

Alors on aI(f;) =m1Xj=0(bj+1bj)fbj+bj+12=n1Xk=0ik+11Xj=ik(bj+1bj)fbj+bj+12=n1Xk=0ik+11Xj=ik(bj+1bj)fak+ak+12=n1Xk=0fak+ak+120@ik+11Xj=ikbj+1bj1A=n1Xk=0fak+ak+12(ak+1ak)=I(f;):3On a donc démontré le résultat désiré dans le cas oùraffine.

Si maintenantetsont deux subdivisionsquelconques adaptées àf, il existe une subdivisionqui raffine à la foiset.

Cette subdivison est encoreadaptée àf, donc par le cas précédent on aI(f;) =I(f;)etI(f;) =I(f;).

On en déduit bien queI(f;) =I(f;).Ce lemme nous permet finalement de définir l"intégrale d"une fonction en escalier.Définition 1.19.Soienta < bdeux réels,f: [a;b]!Cune fonction en escalier, etune subdivision adaptéeàf.

On poseZbaf(x)dx=I(f;):Le lemme précédent nous dit que cette définition est légitime : quelle que soit la subdivisionadaptée àfque l"on choisisse,I(f;)a toujours la même valeur.Quelle est l"intuition derrière cette définition? Pour une fonctionfà valeurs positives, l"intégrale est censéereprésenter " l"aire sous la courbe def».

Dans le cas oùfest en escalier, le domaine sous la courbe defestune union finie de rectangles, et la formule que l"on a donnée pour l"intégrale defcorrespond à la somme desaires de ces rectangles.Evidemment, on ne veut pas intégrer que des fonctions en escalier; l"idée de la construction de l"intégraleprésentée dans ces notes est que l"intégrale ici définie se comporte suffisamment bien pour que l"on puissel"étendre aux fonctions qui sontlimite uniformed"une suite de fonctions en escalier.

Ce sont ces fonctions quijoueront un rôle clé - en particulier, on montrera que toute fonction continue a cette propriété.

Avant cela,faisons une liste de propriétés remarquables de l"intégrale des fonctions en escalier.Proposition 1.20.1.Etant donnés deux r éelsa < b, on aRba1 =ba.2.Etant donnés tr oisr éelsa < b < cetfune fonction en escalier sur[a;c], on a(relation de Chasles)Zbaf(x)dx+Zcbf(x)dx=Zcaf(x)dx :3.Etant donnés deux r éelsa < bet une fonctionfen escalier sur[a;b]et à valeurs positives,Rbaf0(positivité de l"intégrale))=.4.Etant donnés deux r éelsa < b, deux fonctionsf;gen escalier sur[a;b]et deux constantes;, on a(linéarité de l"intégrale):Zba(f(x) +g(x))dx=Zbaf(x)dx+Zbag(x)dx :5.Etant donnés deux r éelsa < b, etfune fonction en escalier sur[a;b], on a(inégalité triangulaire)Zbaf(x)dxZbajf(x)jdx :6.Etant donnés deux r éelsa < b, etfune fonction en escalier sur[a;b], on aZbaf(x)dx=ZbaRé(f)(x)dx+iZbaIm(f)(x)dx :Toutes ces propriétés découlent immédiatement de la définition de l"intégrale des fonctions en escalier; leurvérification est laissée en exercice (important pour s"assurer que les définitions ont été bien comprises ).

Onutilisera dans les suites ces propriétés en les combinant entre elles, par exemple sous la forme suivante : sifetgsont deux fonctions en escalier sur[a;b]à valeurs réelles, etf(x)g(x)pour toutx2[a;b], alorsRbaf(x)dxRbag(x)dx(cette inégalité découle des propriétés de linéarité et de positivité).41.

3) Intégrale des fonctions régléesDéfinition 1.21.Soienta < bdeux réels, etf: [a;b]!C.

On dit quefestréglées"il existe une suite defonctions(fn)en escalier sur[a;b]et convergeant uniformément versf.De manière équivalente,fest réglée sur[a;b]si pour tout" >0il existe une fonction en escaliergtelle quepour toutxde[a;b]on aitjf(x)g(x)j ".

Notons qu"une fonction régléefest nécessairement bornée : eneffet, il existe une fonction en escaliergtelle quejf(x)g(x)j 1pour toutxde[a;b](caractérisation qu"onvient d"énoncer appliquée avec"= 1).

Commegne prend qu"un nombre fini de valeurs, il existeMtel quejg(x)j Mpour toutxde[a;b], ce dont on déduit que8x2[a;b]jf(x)j jf(x)g(x)j+jg(x)j 1 +M :Un dernier effort avant de pouvoir définir l"intégrale des fonctions réglées.Lemme 1.22.Soienta < bdeux réels.1.Soit (fn)une suite de fonctions en escalier sur[a;b]convergeant uniformément vers une fonctionf.

Alorsla suite(Rbafn(x)dx)est une suite de Cauchy (donc convergente).2.Si (fn)et(gn)sont deux suites de fonctions en escalier sur[a;b]convergeant uniformément vers la mêmefonctionf, alorslimn!+1Zbafn(x)dx= limn!+1Zbagn(x);dx :Démonstration.Commençons par prouver (1).

Fixons" >0.

Puisque(fn)converge uniformément versf, ilexisteNtel que8m;nN8x2[a;b]jfn(x)fm(x)j " :On en déduit, par linéarité et positivité de l"intégrale des fonctions en escalier, que :8m;nNZbajfn(x)fm(x)jdxZba"dx="(ba):En appliquant l"inégalité triangulaire, on a finalementZba(fn(x)fm(x))dxZbajfn(x)fm(x)jdx"(ba):Ainsi, pour tout" >0il existeNtel que8m;nNZbafn(x)dxZbafm(x)dx"(ba):Ceci achève la démonstration de (1); pour prouver (2), nous devons simplement montrer queRbafn(x)dxRbagn(x)dxconverge vers0.

Fixons à nouveau" >0; puisque(fn)et(gn)convergent uniformément vers lamême fonction,(fngn)converge uniformément vers0, par conséquent il existeNtel quejfn(x)gn(x)j "pour toutx2[a;b]et toutnN.

On a alors, pour toutnN:Zbafn(x)dxZbagn(x)dx=Zba(fn(x)gn(x))dxZbajfn(x)gn(x)jdx"(ba)Ceci prouve queRbafn(x)dxRbagn(x)dxconverge vers0.

5) Définition 1.23.Soienta < bdeux réels,fune fonction réglée sur[a;b]et(fn)une suite de fonctions enescalier sur[a;b]qui converge uniformément versf.

Alors on poseZbaf(x)dx= limn!+1Zbafn(x)dx :La limite apparaissant dans la définition ne dépend pas du choix de la suite(fn)de fonctions en escalierconvergeant uniformément versf, donc notre définition a bien un sens.

Comme pour les fonctions en escalier, onpourrait énumérer les propriétés fondamentales de l"intégrale des fonctions réglées, ce qu"on fera dans la sectionsuivante.

Pour l"instant, introduisons la classe de fonctions que nous voulons vraiment pouvoir intégrer.Exercice 1.24.Soienta < bdeux réels.Montrer qu"une combinaison linéaire et un produit de fonctions régléessur[a;b]sont encore des fonctions réglées.

Montrer qu"une limite uniforme de fonctions réglées sur[a;b]estencore une fonction réglée sur[a;b].Définition 1.25.Soienta < bdeux réels.

On dit qu"une fonctionf: [a;b]!Cestcontinue par morceauxsur[a;b]s