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École Nationale Supérieure de Géologie- Cours de première année -Outils Mathématiques pourl"Ingénieur- Séries et transformées deFourier et deLaplace -BenoîtMarx, Maître de Conférences HDR à l'Université de Lorraine2Table des matières1Analyse de Fourier11.

1) Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. 1) Préliminaires au développement en séries de Fourier . . . . . . . . . 11.1. 2) Développement en série d"exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. 3) Conditions de convergence de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1. 4) Théorème de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1. 5) Développement en série de cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . 81.1. 6) Développements pour une fonction de période quelconque . . . . . . 111. 2) Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. 1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. 2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. 3) Transformée de Fourier d"une fonction périodique . . . . . . . . . . 181.2. 4) Théorème de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.

5) Transformée de Fourier d"un signal discret . . . . . . . . . . . . . . 202Transformée de Laplace232.

1) Définition de la transformée et de la et transformée inverse . . . . . . . . . 232. 2) Propriétés des transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. 1) Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. 2) Translation dans l"espace de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. 3) Dilatation ou contraction dans l"espace de départ . . . . . . . . . . 252.2. 4) Transformée de Laplace d"une fonction modulée . . . . . . . . . . . 252.2. 5) Transformée de Laplace de la dérivée d"une fonction . . . . . . . . . 252.2. 6) Transformée de Laplace de la primitive d"une fonction . . . . . . . . 252.2. 7) Dérivation de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. 8) Théorème de la valeur initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.

9) Théorème de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.10 Transformée de Laplace d"un produit de convolution . . . . . . . . . 272.

3) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. 1) Transformée de Laplace de l"impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . 272.3. 2) Transformée de Laplace de l"échelon unitaire . . . . . . . . . . . . . 282.3. 3) Transformée de Laplace de la fonctionsinus. . . . . . . . . . . . . 282.3. 4) Transformée de Laplace de la fonctioncosinus. . . . . . . . . . . . 292.3. 5) Transformée de Laplace de l"exponentielle . . . . . . . . . . . . . . 292.3.

6) Résolution d"une équation différentielle linéaire . . . . . . . . . . . 293Sujets de travaux dirigés31TD1.

Séries et transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33TD2.

Transformée de Laplace et résolution d"équations différentielles . . . . . . 373Annexes 41ATransformée de Fourier rapide41BDécomposition en éléments simples43CTable de transformées de Laplace444Chapitre 1Analyse de FourierLes séries de Fourier1et la transformée de Fourier sont très utilisées en physiquedans différents buts.

La transformée de Fourier permet de résoudre certaines équationsdifférentielles dont la résolution serait notablement plus lourde sans l"utilisation de cetoutil.

La transformée de Fourier d"une fonction, ou dans un contexte plus concret : d"unsignal mesuré permet de mettre en évidence un spectre, c"est à dire de caractériser lecontenu fréquentiel du signal.

Autrement dit on cherche à mettre en évidence un ouplusieurs comportements périodiques (qui se reproduit à l"identique au cours du temps)et à donner la ou les périodes caractéristiques du signal.Dans une première partie de ce chapitre on verra que toute fonction périodique (souscertaines conditions qui seront précisées) peut s"écrire sous la forme d"une somme pondéréede fonctions exponentielles complexes, ou sous la forme d"une somme pondérée desinuset decosinus.Dans une seconde partie, on définira la transformée de Fourier, on étudiera ses pro-priétés et quelques applications.1.

1) Séries de Fourier1.1.

1) Préliminaires au développement en séries de FourierLe développement en série de Fourier est utilisé pour représenter une certaine classede fonctions : les fonctions périodiques.

Dans un premier temps il est donc utile de définircette classe.1.

Jean-Baptiste (ou Joseph) Fourier (1768-1830) participe à la révolution en tant qu"animateur ducomité local révolutionnaire d"Auxerre.

La chute de Robespierre en 1793 lui évite la guillotine. Il étudieà l"École Normale Supérieure, et a pour professeur Lagrange, Laplace et Monge. En 1797, il remplaceLagrange à la chaire d"analyse et de mécanique de l"Ecole Polytechnique. En 1798, il rejoint les expéditionsnapoléoniennes en Égypte. En 1801, il revient en France et est nommé préfet de l"Isère.

Il étudie leproblème de la chaleur, c"est-à-dire l"évolution de la température d"un corps au cours du temps.

De1802 à 1807, il étudie l"équation de la propagation de la chaleur dans les corps solides, et trouve uneméthode pour la résoudre : l"analyse de Fourier.

Fourier décompose une fonction mathématique unique,mais difficile à décrire mathématiquement, en une somme infinie de fonctions en sinus et en cosinus.