Mecanique Analytique 1Malte HenkelaLaboratoire de Physique de Chimie Theoriques(CNRS UMR 7019),Universite de LorraineNancy, FrancebCentro de Fsica Teorica e Computacional, Universidade de Lisboa, PortugalE-Post/courriel:malte.henkel@univ-lorraine.frCours Semestre d'hiver 2020/21, Universite de LorraineNancyUn peu de lecuture complementaire/LiteraturhinweiseH.
Goldstein,Mecanique classique/Klassische MechanikL.D. Landau et E.M.
Lifchitz,Mecanique/Klassische Mechanikou tout autre livre sur la mecanique classiqueM.L Boas,Mathematical methods in the physical sciences, 3e(Wiley, New York 2006)V.S.
Dotsenkoet al.,Methodes mathematiques pour la physique, 2eDunod (Paris 2021)Vous allez avoir besoin des formulaires mathematiques/physiquesContenu/InhaltCours I/Vorlesung I:Discussion aprofondie des contraintesSymetries et theoreme de NtherCours II/Vorlesung II:Probleme de deux corpsCours III/Vorlesung III:DiusionCes notes ne contiennent que la partie du cours donnee en video-conferenceCOURS I/ VORLESUNG I1.
Discussion approfondie des contraintesRappels:* en mecanique, nous avons introduits descoordonnees generaliseesqi,i= 1;:::;N, ouNest le nombre dedegres de liberteExemples: (1) une particule, coordonnees cartesiennesx;y;z(2) une particule, coordonnees spheriquesr;;* en general, le 2eaxiome de Newton donne les equations de mouvementxi=Fifxkg), mais il faut encore trouver explicitement les forcesFia prioridenitalgo rithmemath ematique: resoudre systeme d'equations dierentielles* souvent, forces exprimees implicitement sous forme descontraintesExemple: waggon sur montagne russewaggon doit rester sur le rail !cette diculte est contournee par l'approche d'Euler-Lagrange:(a)choisir des coordonnees generalisees an de parametriser les contraintes(b)restriction aux forces conservatives:F=rVouV:potentiel(c)avec l'energie cinetique, former lelagrangienL:=TV(d)ecrire les equations d'Euler-Lagrangeddt@L@_qi@L@qi= 0pour lesqiindependantesreduction deNpar les contraintesL'approche d'Euler-Lagrange:(a)choisir des coordonnees generalisees an de parametriser les contraintes(b)restriction aux forces conservatives:F=rVouV:potentiel(c)avec l'energie cinetique, former lelagrangienL:=TV(d)ecrire les equations d'Euler-Lagrangeddt@L@_qi@L@qi= 0pour lesqiindependantesreduction deNpar les contraintes* ainsi les contraintes sont eliminees du probleme mecanique* methode tres ecace d'obtenir les equations dierentielles du mouvement* mais les forces de contrainte ne sont pas determineesExemple: waggon sur montagne russeforces de contrainte sont les forces qui tirent sur les rails(3eaxiome de Newton)important pour la construction stable de la structure de la montagne russeConsiderons un systeme mecanique, avecNdegres de liberte etcoordonnees generaliseesqi,i= 1;:::;N.Denition:Une contrainte estholonome, si elle s'ecrit sous la formef(q1;q2;:::;qk;t) = 0Toute autre contrainte est ditenon holomome.Exemple: pour une particule, en coordonnees spheriquesr;;, une contrainter=r0estholonome et une contrainterr0est non holonome.analyse dierentielle d'une contrainte holonome:dfdt= 0 =@f@q1dq1dt+@f@q2dq2dt+:::+@f@qkdqkdt+@f@tkX`=1@f@q`dqkdt+@f@t= 0Considerons un systeme mecanique, avecNdegres de liberte etcoordonnees generaliseesqi,i= 1;:::;N.Denition:Une contrainte estholonome, si elle s'ecrit sous la formef(q1;q2;:::;qk;t) = 0Toute autre contrainte est ditenon holomome.Exemple: pour une particule, en coordonnees spheriquesr;;, une contrainter=r0estholonome et une contrainterr0est non holonome.analyse dierentielle d'une contrainte holonome:dfdt= 0 =@f@q1dq1dt+@f@q2dq2dt+:::+@f@qkdqkdt+@f@tkX`=1@f@q`dqkdtdt+@f@tdt= 0Considerons un systeme mecanique, avecNdegres de liberte etcoordonnees generaliseesqi,i= 1;:::;N.Denition:Une contrainte estholonome, si elle s'ecrit sous la formef(q1;q2;:::;qk;t) = 0Toute autre contrainte est ditenon holomome.Exemple: pour une particule, en coordonnees spheriquesr;;, une contrainter=r0estholonome et une contrainterr0est non holonome.analyse dierentielle d'une contrainte holonome:dfdt= 0 =@f@q1dq1dt+@f@q2dq2dt+:::+@f@qkdqkdt+@f@tkX`=1@f@q`dqk+@f@tdt= 0Considerons un systeme mecanique, avecNdegres de liberte etcoordonnees generaliseesqi,i= 1;:::;N.Denition:Une contrainte estholonome, si elle s'ecrit sous la formef(q1;q2;:::;qk;t) = 0Toute autre contrainte est ditenon holomome.Exemple: pour une particule, en coordonnees spheriquesr;;, une contrainter=r0estholonome et une contrainterr0est non holonome.analyse dierentielle d'une contrainte holonome:dfdt= 0 =@f@q1dq1dt+@f@q2dq2dt+:::+@f@qkdqkdt+@f@tkX`=1a`dqk+atdt= 0oua`:=@f@q`etat:=@f@t.cette discussion nous fournit notre point de depart:Considerons un systeme mecanique, avecNdegres de liberte etcoordonnees generaliseesqi,i= 1;:::;Net une contrainte de formekX`=1a`dqk+atdt= 0N.B.:cette condition est un peu plus general qu'une contrainte holonomecomment obtenir les equations d'Euler-Lagrange ?principe d'Hamilton !Principe d'HamiltonLe mouvement d'un systeme mecanique, entre lestempst1ett2donnes et ou les valeursqi(t1)etqi(t2)sont xes, est telque l'action soit minimale:S=Zt2t1dt L=min !Ici,L=TVest le lagrangien du systeme.Appliquons ceci a la discussion de la contrainte, sous sa forme dierentielle.Car les temps sont xes dans le principe d'Hamilton, on adt= 0.Ceci impliquekX`=1a`dq`= 0avant, nous avons etudie les variations`(t) autour de la solution duprobleme variationnel.
Nous pouvons en particulier regarder le casdq`=`.La contrainte peut aussi ^etre multipliee avec une constante, tel quekX`=1a`dq`= 0Denition:La constantes'apellemultiplicateur de Lagrange.Auparavant, notre discussion du principle d'Hamilton nous a mene aS=@S@=0=Zt2t1dtNXi=1@L@qiddt@L@_qii(t) = 0et nous y ajoutons la contrainte sous la forme(c.a.d. avecdq`=`)kX`=1a`dq`= 0Ces deux conditions donnent ensemble la condition d'extremaliteZt2t1dtNXi=1@L@qiddt@L@_qi+aii(t) = 0comment proceder avec la condition d'extremaliteZt2t1dtNXi=1@L@qiddt@L@_qi+aii(t) = 0sans contraintes, ou avec les contraintes eliminees, lesirestantes etaienttoutes independantes.
Dans ce cas, on a pu conclure que[ :::] = 0dans la condition d'extremalite.
Ainsi les equations d'Euler-Langrangre se deduisaient.Ce raisonnement n'est plus appliquable, car on a bien la conditionsupplementairePki=1aii= 0.?Comment s'en sortir?* PourNdegres de liberte, les variations1;2;:::;N1sont independantes.*Choisirtel que@L@qNddt@L@_qN+aN!= 0* Maintenant, l'argumentation habituelle peut s'appliquer aux variations1;:::;N1independantes, an de deduire comme auparavant@L@qiddt@L@_qi+ai= 0 ;i= 1;:::;N 1nous avons donc un systeme deN+ 1 equations, c'est a dire@L@qiddt@L@_qi+ai=0 ; i= 1;:::;NkX`=1a`dq`dt=0 ici une seule contraintepour lesN+ 1 variablesqi,i= 1;:::;Net.Un tel systeme peut ^etre resolu, car le nombre d'equations est egal au nombre des inconnues.Interpretation de?Nous avons les equations dierentiellesddt@L@_qi@L@qi=ai=forcedonc:aiest la composante de laforce de contrainte,dans la direction de la variableqi.algorithme pour le calcul des forces de contrainteExemple d'applicationune roue de massemet de rayonrroule sur un plan incline, avec angled'inclinaison constant, sous l'inuencede la pesanteurnombre de degres de liberte:2 decrit p.ex. par les coordonneesx,contrainte:x=r) dx+rd= 0a bien la forme etudiee ci-dessusenergie cinetiqueT=m2_x2|{z}mouvement du centre de masse+m2r2_2|{z}rotation autour du centrepotentiella seule force explicite est la pesanteurV=mg`xsinlagrangienL=TV=m2_x2+m2r2_2mg`xsin(A)elimination d'une variable, ici viax=r.
On trouveL=mr2_2mg`rsin=m_x2+mgsin()x+cste.N.B.:on observe bien ume inertiem, dierente dem2qu'on obtientpour une bille qui glisse sur le plan(B)calcul explicit des forces de contraintecarx=r, on a biendx+rd= 0)on identieax=1,a=r.)il faut ecrire deux equations d'Euler-Lagrange@L@xddt@L@_x+ax= 0;@L@ddt@L@_+a= 0mgsinmx+(1) = 0;mr2+r= 0ensemble avec la contrainte, on a unsyst emedes 3 equationsdi erentiellespour les 3 variablesx;;mxmgsin+= 0mr2r= 0r__x= 0techniquement, la solution est immediate:(3e)r= x)(2e)mx=)(1er) 2mgsin= 0, donc=12mgsin=cste.;x=12gsin; =gsin2rla contrainte freine la roue, par rapport a la bille qui ne glisseforce de contrainte:Fx=ax=12mgsinceci est bien entendu compatible avec le bilan des forcesmx=Fex+Fcontr=mgsin+12mgsin=12mgsinle facteur12est consistent avec le resultat obtenu ci-dessus par elimination d'une variableun peu de vocabulaire fr-all/ein wenig dt-frz VokabularKoordinate,fcoordonnee,fZwangsbedingung,fcontrainte,fFreiheitsgrad,mdegre de liberte,mPotential,n(potentielle Energie,f)potentiel,m(energie potentielle,f)kinetische Energie,fenergie cinetique,fLagrangefunktion,flagrangien,mLagrangemultiplikator,mmultiplicateur de Lagrange,mZwangskraft,fforce de contrainte,fholonom holonomenichtholonom non holonomele genre grammatical des substantifs (m,f) est indique/das grammatikalische Geschlecht (m,f,n) der Substantive ist angegeben2.
Symetries et lois de conservationcomment peut-on trouver des lois de conservation plus systematiquement ?systeme mecanique, avecNdegres de liberte et coordonnees generaliseesqiDenition:Une variableqcs'appellecycliquesi elle n'est pas presentedans le lagrangien@L@qc= 0Denition:L'impulsioncanoniquement conjuguee a la variableqiestpi:=@L@_qiTheoreme:Siqcest cyclique, alors l'impulsionpcest conservee.Demonstration:_pc=ddtpc=ddt@L@_qc=@L@qc= 0q.e.d.l'identication d'une variable cyclique donne directement une quantite conservee.Exemple: particule de massem, avec potentielcentral,c.a.d.V=Vpx2+y2+z2.(a)coordonnees cartesiennesL=TV=m2_x2+ _y2+ _z2Vpx2+y2+z2aucune variable cyclique apparente)aucune quantite conservee evidente(b)coordonnees spheriquesL=TV=m2_r2+r2sin2()_2+r2_2V(r)la variableest cyclique, car@L=@= 0.
Donc le moment cinetiquep=@L=@_=mr2sin2()_=cste.est bien une quantite conservee.cet resultat peut encore ^etre considere d'un point de vue legerement dierent:Siqcest cyclique, le lagrangien estinvariantsous un changement deqc:L(qc) =L(qc+")dans ce cas on parle d'unesymetriedu lagrangienLTheoreme(Nther):SiLest symetrique enqc, alors l'impulsionpcest conservee.Exemple: considerons la coordonnee spatialexi,et admettons queLsoit invariant sous translations enxiL(xi) =L(xi+"))@L@xi= 0donc l'impulsionpi=@L=@_xi=cste.est conserveeinvariance sous translations spatiales)conservation de l'impulsionhabituellement, l'energie cinetiqueT=Pi12mi_xi2, potentielV=V(fxig)pi=@L@_xi=mi_xiest bien laquantite de mouvement, dans la terminologie d'antanun peu de vocabulaire fr-all/ein wenig dt-frz Vokabularzyklisch cycliqueImpuls,m,(alt:Bewegungsgroe,f)quantite de mouvement,fImpuls,mimpulsion,fkanonisch konjugierter Impuls,mimpulsion canoniquement conjuguee,fErhaltungsgroe,fquantite conservee,fDrehimpuls,mmoment cinetique,mDrehmoment,ncouple,mSymmetrie,fsymetrie,fTranslationsinvarianz,finvariance sous translations,fRotationsinvarianz,finvariance sous rotations,fle ge
