INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE ANALYTIQUEJULIEN QUÉVATABLE DES MATIÈRESSyllabus11. Mécanique analytique?2 2. Coordonnées généralisées2 3.
Lagrangien et équations d"Euler-Lagrange3 4. * Exemples détaillés : le pendule double, la caténoïde6 5.
Deux cas particuliers de lagrangiens : variables cycliques, hamiltonien9 Exercices116. Théorème de Noether : symétries et constantes du mouvement12 Exercices157.
Formalisme hamiltonien et espace des phases16 8. * Calcul de la période d"un système oscillant20 9.
Crochets de Poisson et méthodes algébriques24 10. Transformations canoniques27 Exercices3211. * Transformations canoniques II33 12.
Mécanique statistique et équation de Liouville38 Bibliographie additionnelle40 SYLLABUSObjectifs :Sensibiliser dans letempstrèsbref consacré à cet enseignement (18h) les étudiants à lareformulation de la mécanique sur un principe variationnel.
Indiquer le lien entre les lois de conservationet les symétries d"un système.
Finalement, cet enseignement a pour enjeux de :(1)donner une idée générale de la matière pour que les étudiants puissent lire le Landau & Lifchitz, ou le Goldstein (cf.
Bibliographie);(2)justifier certaines propriétés emplo yéesdans le cours de ph ysiquestatistique concomitant (théo- rème de Liouville en particulier).Bibliographie :-The theoretical minimum, what you need to kno wto start ph ysics(V ol.1), L.
Susskind 1, G. Hra-bovsky, Basic books 2013-A Student" sGuide to Analytical Mechanics, J.L. Bohn, Cambridge Uni versityPress 2018 -Mécanique, V ol.
2) Mécanique analytique, P .Spindel, GB Science publisher 2002 -Mécanique, de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, C.
Gignoux, B.
Silv estre-Brac,EDP Sciences 2002Date: 2021-2022.1.Leonard Susskind 1940 - 12 JULIEN QUÉVA-Cours de ph ysiqueThéorique V olume1 : Mécanique, L.
Landau 2, E. Lifchitz3, Mir Moscou 1969-Classical Dynamics, H. Goldstein, C. Poole, J.
F asko,Addison-W esley2002 Note finale= Note examen (∼7pts/20)Durée :9h CM, 9h TD, 0h TP.Remarque1.Eu égard au peu de temps disponible ces notes sont des plus lapidaires et c"est aux ré-férences bibliographiques citées ci-avant qu"on se référera pour plus de détails.
Les sectionsétoiléespeuvent être omises en première lecture, elles visent à étoffer et illustrer les éléments récemment mis enplace.
Les exercicesfont partie intégrante du cours, on s"y réfère et y démontre des propriétés employéesantérieurement ou ultérieurement.
Enfin, ce cours n"est qu"un aperçu, nombres de sujets importants nesont pas abordés ni même évoqués : multiplicateurs de Lagrange, théorie de Hamilton-Jacobi, systèmesintégrables, méthodes de perturbation, lien avec l"optique, Remarque2.La dernière version de ces notes est disponible à l"adresse :http://julien.queva.perso.math.cnrs.fr/1.
MÉCANIQUE ANALYTIQUE?Il s"agit d"une reformulation de la mécanique au moyen d"un nouveau formalisme (calcul variation-nel) s"appuyant sur un nouveau principe (le principe de moindre action).
Cette formulation présente lesavantages suivants :-formulation "simple" des systèmes contraints ;-formalisme unifié pour : -la mécanique du point, des points et des solides, -la théorie des champs (classiques ou quantiques), -la ph ysiquestatistique, essentiellement l"intégralité de la physique;-propose un lien clair entre la mécanique classique et la mécanique quantique ;-cadre approprié pour discuter et emplo yerles symétries d"un système.
Remarque3.On se limitera au cas le plus simple de la mécanique du point ou des points dans ces notes.2.
COORDONNÉES GÉNÉRALISÉESUn ensemble deNparticules est paramétré par 3Ncoordonnées :{-→r1, ,-→rN} ≡ {x1,y1,z1, ,xN,yN,zN}.Pour que l"état mécanique du système soit complètement caractérisé il est nécessaire en plus de connaîtreles vitesses de chacune des particules :{.-→r1, ,.-→rN},soit 6Nparamètres permettant de spécifier lesconditions initialesd"un problème de Cauchy4bien posé.Or il est courant que ces points aient à satisfaire à des équations de liaison, exprimant des contraintes.Exemple1.Le pendule double plan constitué par deux massesm1etm2, identifiées aux pointsM1etM2respectivement, liées entre elles et à un support par des tiges rigides de masses négligeables et delongueurs respectivesℓ1etℓ2.
Dans ce cas les coordonnées des différentes masses sont liées par leséquations :z1=0,z2=0,---→OM1=ℓ1,----→M1M2=ℓ2.2.Le vDa vidovitchLandau 1908 - 1968 3.Evgen yMikhailo vichLifshit 1915 - 1985 4.Augustin Louis Cauch y1789 - 1857 INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE 3-→ezyxOℓ1ℓ2M1M2ϕ1ϕ2-→gFIGURE1.
Schéma du pendule double employé dans l"exemple1 .Alors, des six variables initiales on en retranche quatre venant des contraintes et il reste deux variableslibres (ϕ1etϕ2, par exemple).Une contrainte qui peut s"écrire sous la forme d"une équation (scalaire)f({-→r1, ,-→rN},t) =0 est unecontrainteholonomeet il s"agit alors d"uneliaisonholonome, comme dans l"exemple précédent.
Pour unsystème ayant 3Ncoordonnées etKcontraintes holonomesindépendanteson a alors :n=3N-Kcoordonnées indépendantes, on dira que ce système est àndegrésdelibertés(ddl).Un jeu denvariables indépendantes paramétrant le système sont descoordonnéesgénéraliséesdusystème, on les note :{q1, ,qn}={qa}1⩽a⩽n≡ {qa},en employant généralement la notation compacte{qa}, avec leursvitessesgénéralisées:{.q1, ,.qn}={.qa}1⩽a⩽n≡ {.qa}.Exemple2.Dans le cas du pendule double plan de l"exemple1 on choisira : q1=ϕ1etq2=ϕ2, ouq1=ϕ1etq2=ϕ2-ϕ1.3.
LAGRANGIEN ET ÉQUATIONS D"EULER-LAGRANGEAdmettons, pour l"instant, qu"on puisse modéliser l"intégralité d"un système physique par une fonctionL({qa},{.qa},t)nommée lelagrangien, qui esta prioriune fonction de 2n+1 variables.
Au lagrangienLon associe l"action Svia l"équation :S[{qa(t)}] =t1Zt0L({qa(t)},{.qa(t)},t)dt.L"actionSest unefonctionnelle5: auxnfonctions{qa(t)}elle associe une valeur numérique réelle.On notera ceci : pour un lagrangienLdonné extrémiser l"actionSassociée, et en particulier minimiserS, prescrit les équations différentielles vérifiées par les fonctions inconnues{qa(t)}.
En effet, considérons5.
Un autre exemple de fonctionnelle est l"évaluation en un
