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Fonctions convexes 1 Dimension 1

Qu'est-ce que la fonction convexe ?
Définition 1 — Soient un espace vectoriel (ou affine) réel et un convexe de . On dit qu'une fonction pour tous et de et tout dans [0 ; 1], on a : . Autrement dit : est convexe si sa « restriction » à tout segment est une fonction convexe de la variable réelle ( voir supra) 15 . Définition 2 — Soit un espace vectoriel (ou affine) réel.
Comment savoir si une fonction est concave ?
Une fonction f f est concave si −f − f est convexe, c'est-à-dire si,pour tous x x et y y de I I, pour tout t t de [0,1] [ 0, 1] : f (tx +(1 −t)y) ≥ tf (x) +(1−t)f (y). f ( t x + ( 1 − t) y) ≥ t f ( x) + ( 1 − t) f ( y). Pour n ∈N∗ n ∈ N ∗, la fonction x ↦ xn x ↦ x n est convexe sur R R si n n est pair.
Qu'est-ce que l'ensemble des fonctions convexes ?
Par les propriétés supposées de , l'ensemble des fonctions -convexes est un cône convexe de l'ensemble des fonctions de dans (parce que est un cône convexe), contenant les fonctions affines (parce que est pointé). Si le cône est également saillant, il induit sur un ordre partiel, noté et défini par :
Quels sont les différents types de fonctions convexes ?
La fonction carré et la fonction exponentielle sont des exemples de fonctions strictement convexes sur l' ensemble réel . Ces définitions se généralisent aux fonctions définies sur un espace vectoriel (ou affine) arbitraire et à valeurs dans la droite réelle achevée .

Qu'est-ce que la fonction convexe ?