Comment calculer le produit d'un espace metrique complet ?
Le produit de deux espaces metriques complets (Xi; di); i = 1; 2 muni de la distance somme ou de la distance produit est un espace metrique complet. Preuve. Si ((x1;n; x2;n))n>0 est une suite de Cauchy dans (X1 X2; dp), alors les suites (xi;n)n>0 sont des suites de Cauchy dans (Xi; di).
Comment savoir si un espace metrique est complet ?
Un espace metrique (X; d) est dit complet si toute suite de Cauchy converge. Exemples. Un espace metrique compact est complet (proposition precedente et Bolzano-Weierstrass). (]0; 1]; j j) n'est pas un espace metrique complet : penser a (1 n)n>1. (Q; j j) n'est pas un espace metrique complet. On peut de nir R comme etant le complete de (Q; j j).
Quelle est la propriété de complétude d'un espace métrique complet ?
En mathématiques, un espace métrique complet est un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge dans ce même espace. La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.
Qu'est-ce que l'espace métrique compact ?
Tout espace métrique compact est complet. En fait, un espace métrique est compact si et seulement s’il est complet et précompact . Tout sous-espace fermé d'un espace complet est complet, et tout sous-espace complet d'un espace métrique (non nécessairement complet) est fermé. . Le sous-espace fermé B(X, M) des fonctions bornées l'est donc aussi.
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