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Chapitre IV Bases et dimension d'un espace vectoriel

Quelle est la composition d’un espace vectoriel ?
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel. L’ensemble des automorphismes de E forme un groupe pour la composition des applications, appelé groupe linéaire de E et noté Gl(E). Soient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels.
Comment calculer la dimension finie d'un espace vectoriel ?
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors E admet une base comportant un nombre fini de vecteurs, et toutes les bases de E comportent le même nombre fini de vecteurs. Soit la famille ne comporte que le vecteur nul, et alors : " x ̨ E, x = 0. Dans ce cas, et par convention, on a : E = Vect( ̆).
Quels sont les critères de construction d’un espace vectoriel ?
Constructions et critères Tout sous espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie possède au moins un supplémentaire dans . =( ⃗⃗⃗ 1 , ⃗⃗⃗ 2 ,...,⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ) une base de . est une famille libre, est une famille génératrice de .
Comment calculer l’application d’un espace vectoriel ?
Soient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels, E de dimension finie n. Soit : B = (e1, ..., e n), une base de E, et (a1, ..., a n) une famille de vecteurs de F. Alors : $ ! u ̨ L(E,F), " 1 £ i £ n, u(ei) = ai. Donc si u existe, ça ne peut être que l’application que l’on vient de décrire. Réciproquement, soit u définie telle qu’au dessus.

Quelle est la composition d’un espace vectoriel ?