1 Matrices espaces vectoriels applications linéaires

Comment montrer qu'une matrice est une application linéaire ?

Définition.
Soit f:E → F une application linéaire.
La matrice de f dans les bases B et B' est la matrice de taille n × p dont les coefficients de la j-i`eme colonne sont les coordonnées du vecteur f(ej) dans la base (e1,,ep).
Si F = E et B = B alors cette matrice est appelée la matrice de f dans la base B.

Comment montrer qu'une application linéaire est un espace vectoriel ?

Si f est une application linéaire de E dans F, et g une application linéaire de F dans G alors g ◦ f est une application linéaire de E dans G.
Le noyau de f est l'ensemble des v ∈ E tels que f(v) = 0.
C'est un sous-espace vectoriel de E noté Ker(f).

Quel est le lien entre produit de matrices et composition d'applications linéaires ?

Théorème : La composée d'applications linéaires correspond au produit de matrices.
Plus précisément, si u∈L(E,F) u ∈ L ( E , F ) et v∈L(F,G) v ∈ L ( F , G ) , alors Mat(B,D)(v∘u)=Mat(C,D)(v)Mat(B,C)(u).

Application du calcul matriciel