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INSA de ToulouseDépartement STPIAnnée 12017-2018Eléments de méthodologie en mathématiques oucomment travailler son cours de maths?Mélisande Albert1, Loïc Lacouture2, Benjamin Laquerrière3,Géraldine Quinio4, Anthony Réveillac5, Adeline Rouchon6, Sandrine Scott71. melisande.albert@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1152. lacoutur@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1183. laquerri@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1204. quinio@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1195. anthony.reveillac@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1116. rouchon@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1197. scott@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1182Table des matières1 Motivation : mais ça sert à quoi les maths pour un futur ingénieur? 51.

1) Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1. 2) Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths . . . .9 1.2. 1) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.2.

2) D"accord mais quels sont les composants d"un théorème? . . . . . .11 2 Comment travailler mon cours de maths? 132.

1) Deux méthodes de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2.1. 1) Première méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2.1. 2) Deuxième méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2. 2) Comment travailler les CM et le poly? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2.

3) Comment travailler les TD? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 3 Mise en pratique 193Table des matières4Chapitre 1Motivation : mais ça sert à quoi lesmaths pour un futur ingénieur?1.

1) MotivationDisons le tout de suite : la science mathématique n"est pas une science expérimentale,dans le sens où elle ne consiste pas à déduire des lois de la nature à partir d"observations dephénomènes physiques.

Le métier d"ingénieur a pour vocation d"utiliser des connaissancesscientifiques en physique, biologie, chimie, etc., pour mettre en place de nouvelles techno-logies.

Mais alors pourquoi avoir des notions en mathématiques et quelle est la place desmathématiques par rapport aux sciences dites "naturelles", qui sont au coeur du métierd"ingénieur? Pour tenter de donner une réponse à cette question, examinons trois exemplesconcrets dans différents domaines scientifiques.Exemple 1 : mécanique classique et chute d"un corps (modèle dit linéaire).Imaginons que l"on regarde le mouvement de la chute d"un objet (une pomme par exemple).Les lois de la mécanique classique nous instruisent que la vitesseV(t)de l"objet à l"instanttévolue de la façon suivante :V0(t) =gFmV(t); t2[0;tMax]; V(0) =v0;(1.1.1)où-[0;tMax]est la période d"observation (avect= 0la date où l"on a lâché l"objet ettMaxl"instant de fin d"observation),-gest la constante d"accélération de la pesanteur terrestre (g= 9;807ms2),51.1.

Motivation-Fest une constante modélisant la résistance de l"objet (essentiellement sa forme),-msa masse,-v0un réel positif ou nul indiquant la vitesse initiale de l"objet au temps0(parexemplev0= 0si l"on lâche l"objet).Autrement dit, les lois de la mécanique classique ne nous donnent pas une forme ex-plicite pourV, c"est-à-direV(t) =une expression dans laquelle interviennentg;Fetm,mais une relation (on parlera d"équation) reliant la quantité inconnue (la fonction vitesseV:t7!V(t)) à sa dérivéeV0(autrement dit l"accélération).

Une telle relation est tout àfait ce que l"on entend par "loi de la nature".Exemple 2 : développement d"une colonie de bactérie en biologie.Imaginons cette fois un biologiste qui observe le développement d"une colonie de bactéries.On noteN(t)le nombre de bactéries dans la colonie à la datet.

De nouveau, le biologistecerne l"évolution de ce nombre par la formulation suivante :N0(t) =TN(t); t2[0;tMax]; N(0) =n0;(1.1.2)où-[0;tMax]est la période d"observation (avect= 0la date où l"on a initié la culture debactéries ettMaxl"instant de fin d"observation),-Test une constante propre à la bactérie en question,-n0est le nombre de bactéries initialement introduites (ou présentes) au début del"observation.De nouveau, la loi de la nature en question nous donne que la quantité que l"on souhaiteétudierN:t7!N(t)est reliée à sa dérivéeN0.Exemple 3 : datation par Carbone 14 en paléontologie (ou en archéologie).Considérons enfin un paléontologue qui vient de mettre au jour le squelette d"un individusemblant être d"une nouvelle espèce d"hominidé.

Mais, comment dater cette dernière et larestituer dans l"arbre généalogique des hominidés? Les lois de la physique des particules(cette fois) nous apprennent que certains composés radioactifs tels que l"isotope dit "Car-bone 14" se détériorent avec le temps suivant un schéma précis.

C"est-à-dire que si l"onnoteC(t)la radioactivité mesurée à la datetsur l"échantillon, on obtient que :C0(t) =C(t); t2[0;t0]; C(0) =c;(1.1.3)où-t= 0correspond à la date de décès de l"individu dont provient le squelette1ett0dénote la différence entre la date où le squelette a été sorti de terre (ou encore1.

Un exemple pratique est donné par l"isotope "Carbone 14" du carbone.

Un échantillon (originelle-ment un organisme vivant) ingère par respiration cet isotope, qui cesse donc d"être renouvelé au décèsde l"individu.

Ainsi, le nombre d"atomes de Carbone 14 dans l"individu ne cesse de décroître au cours dutemps.61.1.

Motivationla date d"examen de l"échantillon) et la date de décès de l"individu dont est issul"échantillon,-est une constante dont l"unité est "année1" et qui dépend du composé radioactifétudié (par exemple pour le carbone 14,est liée à la durée dite de "demi-vie" del"isotope et vaut:= 1;22104année1),-cest la radioactivité mesurée au moment du décès de l"échantillon, c"est-à-dire àla datet= 0(il s"agit en fait du taux de désintégration du composé radioactif àpartir du moment où ce dernier n"est plus ingéré par l"individu, par exemple pourle Carbone 14 cette valeur est de13;6décompositions par minute).Quel enseignement tirer de ces trois exemples en apparence bien différents?Considérons trois scientifiques.

Isaac physicien, Louis biologiste et Yves2paléontologue.Isaac lâche une pomme àt= 0et veut connaître (à partir de la relation (1.1.1)) sa vitesseV(1)au bout d"une seconde (c"est-à-dire àt= 1s).

Louis souhaite connaître (à partir de(1.1.2)) le nombreN(3600)de bactéries d"une souche donnée au bout de 1h (1h= 3600s),et Yves souhaite connaître l"âge de ce squelette qu"il vient de "sortir de terre", c"est-à-diredonner une indication de la période où l"individu vivait (en se basant sur (1.1.3)).

Nos troisscientifiques se retrouvent face à trois équations "qu"il ne reste plus qu"à résoudre".

Maiscomment faire parler les relations (1.1.1), (1.1.2) et (1.1.3)?Isaac, Louis et Yves décident donc de s"adresser à René (mathématicien) pour résoudreleurs problèmes.

René examine les trois problèmes qui lui sont proposés et réaliseque lestrois scientifiques se posent finalement la même question!En effet, la fonction dutemps qui les intéresse (t7!V(t)pour Isaac,t7!N(t)pour Louis ett7!C(t)pour Yves)est reliée de façon bien précise à sa dérivée.

Ainsi, mathématiquement, les trois problèmessont en fait identiques et s"écrivent tous trois sous la forme :y0(t) =y(t) +; t2[tmin;tmax](1.1.4)avecetdeux constantes données et[tmin;tmax]l"intervalle de temps sur lequel le phé-nomène (ou l"expérience) est observé (ou réalisée)3.

En effet,1.la fonction t7!V(t)dans (1.1.1) n"est autre quet7!y(t)de (1.1.4) en choisissant=Fmet=g,2.la fonction t7!N(t)dans (1.1.2) n"est autre quet7!y(t)de (1.1.4) en choisissant=Tet= 0,3.la fonction t7!C(t)dans (1.1.3) n"est autre quet7!y(t)de (1.1.4) en choisissant=et= 0.2.

Les auteurs de ce polycopié déclinent toute ressemblance avec des personnages vivants ou morts ettout anachronisme qui découlerait de cette identification.3.

On a de plus une "condition au bord" (ou condition initiale)y(tmin)qui est une valeur connue pourles équations (1.1.1), (1.1.2) et (1.1.3)71.1.

MotivationDonc si René sait résoudre l"équation "abstraite" (1.1.4) où les coefficientsetsontsupposés connus, alors il sait résoudre les trois équations "concrètes" (lois de la nature)(1.1.1), (1.1.2) et (1.1.3).C"est à cela que servent les mathématiques : non pas raisonner dans des si-tuations qui ne sont pas en lien avec la réalité, mais au contraire permettreun niveau de généralité (d"abstraction) dans lequel pourront rentrer plusieurssituations concrètes.A titre d"exemple, si demain on souhaite interdire une route aux voitures, motos, mo-bylettes, camions, etc., on ne va pas disposer un panneau pour chaque véhicule mais bienun seul et même panneau "interdit aux véhicules motorisés" qui englobera tous les véhiculescités précédemment.

Ce niveau de généralité (on parlera d"universalité des mathématiques)est bien une force et non un désavantage!Donnons un autre exemple (probablement un peu naïf) de l"utilité d"une approche abs-traite pour résoudre les problèmes.

Vous avez tou(te)s rencontré cet exercice pour résoudreles systèmes d"équations linéaires à deux inconnues.Exercise 1 :Adeline va acheter à la boulangerie 2 baguettes et 1 croissant.

Elle paie3;10e. Géraldine va à la même boulangerie et achète 1 baguette et 1 croissant et paie letout2;10e.

Quel est le prix d"une baguette dans cette boulangerie et celui d"un croissant