Quelles sont les méthodes de la mathématique ?
Deux grandes méthodes.
Pour apprendre les mathématiques, deux grandes méthodes traditionnelles sont généralement suggérées : la méthode Assimil et la méthode Berlitz.
Même en vacances, on peut faire des maths : dessinez la montagne sous forme d'un graphique et étudiez son sens de variationQuelle est la meilleure méthode pour etudier les maths ?
Si vous n'êtes pas un grand matheux ou une grande matheuse, le meilleur moyen d'apprendre facilement les maths est de recourir à un moyen mnémotechnique ou ludique pour retenir l'information : pour cela, il faut avoir envie d'apprendre.
Bloquer dès le début n'est pas favorable à un apprentissage facilité.Quels sont les liens entre les mathématiques et la physique ?
La physique cherche à comprendre le monde en s'intéressant à la forme et à sa nature, par laquelle la forme acquiert certaines propriétés, alors que les mathématiques s'intéressent à la forme, faisant abstraction de ses propriétés donc de la nature des objets.
Voici nos conseils :
11 – Apprendre à s'investir. 22 – Travailler avec méthode à la maison. 33 – Travailler avec méthode pendant les contrôles de mathématiques. 44 – Travaillez avec régularité 55 – Diversifiez les ressources d'apprentissage. 66 – Apprenez de vos erreurs.
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Licence de Physique et Applications Universite Paris-SudMethodes Mathematiques pour laPhysique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
2) Matrices unitaires et matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .28 4 TABLE DES MATIERES1.
7) Resolution d'un systeme d'equations lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 1.7. 1) Rang d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 1. 8) Diagonalisation d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 1.8. 1) Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 1.8. 2) Vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1.8.3) Retour sur les invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 2 Bases non orthonormees, Metriques et Changement de Base 352.
1) Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 2. 2) Metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 2. 3) Notation avec la convention de sommation d'Einstein . . . . . . . . . . . . . . . .37 2.3. 1) Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 2.3.2) Consequences du changement de base sur la metriqueg. . . . . . . . . .39 IIEquations Dierentielles411Equations Dierentielles Ordinaires 431.
1) Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 1. 2) EDO's lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 1.2. 1) Denition & principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 1.2. 2) EDO's lineaires a coecients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 1.2. 3) EDO's lineaires a coecients non-constants . . . . . . . . . . . . . . . . .50 1. 3) EDO's non-lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 1.3. 1) Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 1.3.2) Quelques EDO's non-lineaires dont on connait la solution . . . . . . . . .57 2 Systemes d'Equations Dierentielles Ordinaires 632.
1) Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 2. 2) Systemes d'EDO's lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 2.2. 1) Denition & principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 2.2.2) Systemes lineaires a coecients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 - Licence de Physique et Applications - Annee 2016-2017A.
Abada et W. HerremanTABLE DES MATIERES 52. 3) Systemes d'EDO's non-lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 2.3. 1) Analyse locale autour d'un etat equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 2.3.2) Exemple physique : le pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 3Equations Dierentielles Partielles 853.
1) Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 3. 2) Le probleme de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 3.2. 1) Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 3.2. 2) Theoreme min-max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88 3.2. 3) Solutions separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 3. 3) Fonctions propres du Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 3.3. 1) Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 3.3. 2) Fonction propres separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 3.3. 3) Proprietes generales des modes propres de . . . . . . . . . . . . . . . .105 3. 4) Autres EDP's frequemment rencontrees en physique . . . . . . . . . . . . . . . .107 3.4. 1) Le probleme de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 3.4. 2) L'equation de diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 3.4. 3) L'equation d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 3.4.4) L'equation de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 4 Annexes : Rappels sur les coordonnees cylindriques & spheriques 1134.
1) Coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 4.2) Coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 IIITransformation de Fourier1211 Transformation de Fourier au sens des fonctions 1231.
1) Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 1. 2) Integrale de Lebesgue et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 1.2. 1) Mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 1.2.2) Integrale de Lebesgue et fonctions sommables . . . . . . . . . . . . . . . .126 - Licence de Physique et Applications - Annee 2016-2017A.
Abada et W. Herreman6 TABLE DES MATIERES1. 3) Transformation de Fourier dansL1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 1.3. 1) Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 1. 4) Derivation et transformee inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 1.4. 1) Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 1.4. 2) Transformee de Fourier Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 1. 5) Transformee de Fourier d'une convolution de fonctions . . . . . . . . . . . . . . .133 1.5. 1) Propriete de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 1. 6) Transformation de Fourier dansL2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 1. 7) Transformees de Fourier dansS(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 1. 8) Transformee de Fourier de fonctions a plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . .139 1.9) Application aux EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 - Licence de Physique et Applications - Annee 2016-2017A.
Abada et W. HerremanPremiere partieAlgebre1Algebre lineaire1.1) IntroductionLes lois de la physique se presentent souvent sous forme de relation lineaires : lois fondamen-tales du mouvement, systemes electriques, etc.
De maniere generale, on appelleequation lineairedans les variablesxi; i= 1;n, toute relation de la formenXi=1aixi=c ;(1.1)ouai; i= 1;netbsont des coecients reels.Ces equations lineaires decrivent des relations entre les variablesxisans donner directement lesvaleurs que ces dernieres peuvent prendre (solutions) - on dit qu'elles sont implicites.Denitionsa.Un ensem bleni d' equationslin eairesdans les v ariablesxi; i= 1;ns'appelleun systemed'equations lineaires.b.T outn-uplet de nombressi; i= 1;nsatisfaisant chacune des equations s'appellesolutiondu systeme d'equations lineaires.c.Un s ystemed' equationslin eairesest dit incompatibleouinconsistents'il n'admet pas desolutions.Exemple :considerons le systemea11x1+a12x2=b1a21x2+a22x2=b2;(1.2)oua11a126= 0 eta22a216= 0.
Ces deux equations representent deux droites (D1) et(D2) du planx1x2. Une solution de ce systeme est un point (s1;s2) appartenant aux deuxdroites.Si les droites se coupent en un seul point, le systeme est compatible, si elles sontparalleles, le systeme est incompatible, enn si les droites sont confondues, le systeme aune innite de solutions.Avant de pouvoir ecrire les systemes d'equations lineaires sous forme matricielle, un rappelsur les matrices, plus generalement sur l'algebre lineaire, est necessaire.10 1.
ALGEBRE LINEAIRE1.2) Rudiments d'algebre lineaireL'algebre lineaire est la branche des mathematiques consacree a l'etude des espaces vectoriels,des transformations lineaires et des systemes d'equations lineaires.Nous avons besoin de quelques denitions an de xer lelangage.IUnanneauAest un ensemble non vide muni d'une loi d'addition (+)- groupe commutatif -et d'une loi de multiplication (notee () ou) - associative -, possedant un element neutre (1),et distributive par rapport a l'addition.IUncorpsKest un anneau dans lequel tout element non nul est inversible.
Citons par exemplele corpsRdes nombres reels, le corpsCdes nombres complexes, le corpsIQdes nombres ration-nels, etc,.
Un corps est ditcommutatifsi la multiplication est une operation commutative.IUnespace vectorielVsur un corpsKest un groupe commutatif pour une loi +, muni d'uneaction deK, c'est a dire uneapplication lineairedeKVdansV: (;x)!xveriant pourtoutx;y2 Vet pour tout;2Kles proprietes suivantes :(x+y) = (x) + (y);(+)y= (y) + (y); (x) = ( )x :(1.3)Un espace vectoriel est donc un ensemble muni d'une structure permettant d'eectuer descom-binaisons lineaires.
Il est deni sur un corps.Les elements de l'espace vectoriel (du