Quel est l'objectif de l'analyse numérique ?
L'analyse numérique propose des méthodes pour l'étude des problèmes mathématiques à l'aide des ordinateurs et donc des algorithmes.
Un des objectifs principaux de l'analyse numérique est de discuter les conséquences de l'implémentation numérique.Quelle est la méthode de Gauss ?
Le principe de la méthode de Gauss est de se ramener, par des opérations simples (combinaisons linéaires), à un système triangulaire équivalent, qui sera donc facile à inverser.
Commençons par un exemple pour une matrice 3 × 3.
Nous donnerons ensuite la méthode pour une matrice n× n.C'est quoi la méthode de point fixe ?
Graphiquement, les points fixes d'une fonction f (d'une variable réelle, à valeurs réelles) sont les points d'intersection de la droite d'équation y = x avec la courbe d'équation y = f(x).
Comment faire la méthode de dichotomie ?
La dichotomie consiste à partager l'intervalle [a;b] en deux.
On calcule m=2a+b.
Il y a alors deux possibilités : soit f(a)×f(m)<0, soit f(m)×f(b)<0.
On choisit le sous‑intervalle où il y a le changement de signe car il contient α et on poursuit.
1 Introduction générale
CHAPITRE I : Généralités & Introduction
Les énergies fossiles et renouvelables
Une démarche danalyse des risques : définitions
Démarche danalyse des risques
Guide dusage de la grille danalyse des risques
Guide explicatif pour la grille danalyse de risque
évaluation des risques professionnels
Guide-evaluation-risquespdf
COURS DE L3 : ANALYSE NUMÉRIQUELaurent BRUNEAUUniversité de Cergy-Pontoise2Table des matières1 Calcul approché d"intégrales5 1.
1) Méthodes des rectangles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. 1) Les sommes de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. 2) Rectangles à gauche / à droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. 3) Méthode du point milieu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. 2) Méthode des trapèzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3) Méthode de Simpson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Résolution approchée def(x) = 0172.
1) Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. 2) Méthode de la dichotomie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. 3) Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. 4) Méthode de la sécante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. 1) Interpolation linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. 2) Méthode de la sécante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5) Méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Approximation polynomiale31 3.
1) Interpolation de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1. 1) Existence et unicité du polynôme d"interpolation. . . . . . . . . . . . . . 31 3.1. 2) Erreur d"approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1. 3) Stabilité du polynôme d"approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. 2) ApproximationL2et polynômes orthogonaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. 1) Généralités sur l"approximation polynomiale. . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. 2) Polynôme de meilleure approximationL2. . . . . . . . . . . . . . . . . .38 3.2.3) Polynômes orthogonaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4TABLE DES MATIÈRES4 Résolution numérique des équations différentielles43 4.
1) Quelques aspects théoriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. 2) Le schéma d"Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4. 3) Méthodes à un pas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3. 1) Définition et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3. 2) Consistance, stabilité et convergence d"un schéma. . . . . . . . . . . . . 55 4.3. 3) Critères de consistance et stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3. 4) Ordre d"un schéma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4. 4) Méthodes de Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4. 1) Présentation des méthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4. 2) La méthode RK2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.3) La méthode RK4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5 Compléments sur le calcul approché d"intégrales : méthodes de quadrature69 5.
1) Méthodes de Newton-Cotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1. 1) Formules de quadrature simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1. 2) Formules de quadrature composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2) Méthode de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Chapitre 1Calcul approché d"intégralesL"objectif de ce chapitre est de voir quelques méthodes (simples) de calcul approché d"intégrales.D"autres méthodes un peu plus élaborées sont présentées en compléments dans le Chapitre5 .Avant de voir ces différentes méthodes, il y a deux points importants qu"il s"agit de toujours avoiren tête dès que l"on parle de calcul (ou résolution) approchée : la précision de la valeur obtenue(ou l"erreur commise) et la vitesse de convergence.ErreurTout comme dans les chapitres suivants (résolution approché def(x) = 0, résolution d"équationsdifférentielles), il ne s"agira pas uniquement dedonner une valeur.
Comme on parle ici de valeurapprochée, une valeur seule ne veut rien dire! Dire que3;14est une valeur approchée de, sansautre précision, n"a pas plus d"intérêt et n"est pas plus correct que de dire que5est une valeurapprochée de.
Quand on parlera de valeur approchée il faudra toujours préciser quelle est l"erreur(maximum)commise.5esteneffetunevaleurapprochéede,à2près,cequisignifiequej5j<2.
Le nombre3;14est aussi une valeur approchée deà2près puisquej3;14j<2.Il est vraique3;14est une meilleur approximation puisqu"en fait c"est une valeur approchée à102de:j3;14j<102, alors que ce n"est pas le cas pour5.
Mais si vous savez a priori que3;14est meilleur que5c"est parce que vous avez déjà