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Application linéaire continue bibmath

Comment montrer qu'une application linéaire est continue ?
Pour démontrer qu'une application linéaire u:E→F u : E → F est continue, on cherche une constante C>0 telle que, pour tout x∈E x ∈ E , on ait ∥u(x)∥≤C∥x∥ ‖ u ( x ) ‖ ≤ C ‖ x ‖ (voir cet exercice).
Est-ce que toute application linéaire est continue ?
Applications linéaires sur un espace de dimension finie
Si E est de dimension finie alors (quel que soit le choix de la norme sur E, puisque toutes sont équivalentes), toute application linéaire sur E est continue.
Quand Est-ce qu'une application est dite linéaire ?
Définition.
Une application linéaire de E dans F est une application f:E → F telle que pour tous vecteurs u, v ∈ E et tout scalaire λ ∈ K, • f(u + v) = f(u) + f(v), • f(λu) = λf(u).
Si F = K on dit que f est une forme linéaire.
Donc Kerf est de dimension 1 et une base est donnée par un seul vecteur : X − 1. 3.
Par le théor`eme du rang la dimension de l'image est : dim Imf = dimRn[X] − dim Kerf = (n + 1) − 1 = n.

Comment montrer qu'une application linéaire est continue ?