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Application linéaire continue dimension finie

Comment déterminer la dimension d'une application linéaire ?
Le théorème le plus classique concernant le rang est le : Théorème du rang : Si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie, si f:E→F f : E → F est une application linéaire, alors : dim(E)=rg(f)+dim(ker(f))=dim(Im(f))+dim(ker(f)).
Comment montrer qu'une application est linéaire continue ?
Pour montrer qu'une application linéaire est continue, on cherche à majorer f(x)F en fonction de xE. = 1 et f(un) →∞.
De plus, si E est de dimension finie, toute application linéaire E → F est continue (même si F est de dimension infinie )
Est-ce que toute application linéaire est continue ?
Applications linéaires sur un espace de dimension finie
Si E est de dimension finie alors (quel que soit le choix de la norme sur E, puisque toutes sont équivalentes), toute application linéaire sur E est continue.
On vérifie de même que Δ est un endomorphisme de E ou bien on emploie Δ=T-IdE pour parvenir à la même conclusion par opérations sur les endomorphismes.
Pour montrer qu'une application linéaire f∈ℒ(E,E′) est continue, il suffit de déterminer k∈ℝ vérifiant ∥f(x)∥≤k∥x∥ pour tout x∈E.

Comment déterminer la dimension d'une application linéaire ?