Comment résoudre une application bijective ?
Pour calculer la réciproque d'une application f:E→F f : E → F bijective, on résout pour tout y de F l'équation y=f(x) y = f ( x ) , d'inconnue x∈E x ∈ E , c'est-à-dire que l'on exprime x en fonction de y .
Comment montrer que g est bijective ?
Pour montrer que g est bijective deux méthodes sont possibles.
Première méthode : montrer que g est à la fois injective et surjective.
En effet soient n,n ∈ Z tels que g(n) = g(n ) alors n+1 = n +1 donc n = n , alors g est injective.Comment montrer qu'une application n'est ni injective ni surjective ?
Pour montrer que f n'est pas injective, il suffit de trouver deux éléments distincts x et x de E tels que f(x) = f(x ).
Pour montrer que f n'est pas surjective, il suffit de trouver un élément y de F qui n'a aucun antécédent.
Soit u : R −→ R+ l'application telle que u(x)=0si x < −1 et u(x) = x + 1 si x ⩾ −1.- Si f ◦ g ◦ f est bijective de E sur E, alors f et g le sont aussi.
Démonstration Par hypothèse, f est injective car (f ◦ g) ◦ f l'est, mais aussi surjective car f ◦ (g ◦ f ) l'est, donc bijective.
Par conséquent, f possède une réciproque f −1 que nous pouvons exploiter pour « défaire » f .
