Comment définir une mesure borélienne ?
Cela montre l’unicité, puisque la mesure est définie d’une manière unique sur les ouverts, qui engendrent les boréliens. On ne donnera qu’une esquisse de la démonstration. Pour prolonger en une mesure borélienne, on définit une mesure extérieure. Pour tout A ⊂ X, on pose : Soit les boréliens sur M ⊂ P(X) la tribu des ensembles ∗-réguliers.
Comment montrer l'unicité des boréliens ?
Par a), on a pour tout n ∈ N ⊂ ⊂ : En passant à la limite quand n −→ ∞ dans le membre de droite, on a l’inégalité voulue. On procède de même pour montrer (3.5) à partir de (3.3). Cela montre l’unicité, puisque la mesure est définie d’une manière unique sur les ouverts, qui engendrent les boréliens. On ne donnera qu’une esquisse de la démonstration.
Comment montrer qu'un borélien est ∗-régulier ?
Tout borélien est ∗-régulier, i.e. B(X) ⊂ M( ∗). Démonstration. Soit E un ensemble fermé de X. Montrons que E est ∗-régulier. Pour cela, soit A une partie de X. On veut montrer que (A) (A ∩ E) + (A E∁), où E∁ = X E est le complémentaire de E, ∩ l’autre inégalité provenant immédiatement de la sous-additivité de ∗. On peut supposer que
Comment créer une tribu borélienne ?
La tribu borélienne est aussi engendrée par les intervalles ouverts de la forme ]a, +∞ [, où a parcourt ℝ ; il suffit même de considérer a dans une partie dense de ℝ comme ℚ l’ensemble des rationnels . De la même façon, en dimension quelconque, la tribu borélienne sur ℝ n est engendrée par les pavés.
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