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Théorie de l'intégration Licence de Mathématiques (Parcours Math

Comment montrer qu'une intégrale est intégrable ?
On dit que l'intégrale ∫baf ∫ a b f est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) c∈]a,b[ c ∈ ] a , b [ , la fonction x↦∫xcf(t)dt x ↦ ∫ c x f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers b et la fonction x↦∫cxf(t)dt x ↦ ∫ x c f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers a .
Quand une fonction n'est pas intégrable ?
Si on prend f(x)=sin(x)x et I=[0,+∞[, on a ∫If(x)dx=+∞ donc f n'est pas intégrable sur I mais ∫If(x)dx=π2 donc son intégrale sur I converge.
Si on prend un intervalle [a,b] fermé et une fonction continue, les deux définitions se rejoignent.
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII ^e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières.
On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.

Comment montrer qu'une intégrale est intégrable ?