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Chapitre VI Applications linéaires

Comment déterminer l'application linéaire ?
Pour définir une application linéaire, on peut se contenter de la définir sur une base.
Théorème : Soit (ei)i∈I ( e i ) i ∈ I une base de E et soit (fi)i∈I ( f i ) i ∈ I une famille de vecteurs de F .
Alors il existe un unique u∈L(E,F) u ∈ L ( E , F ) tel que u(ei)=fi u ( e i ) = f i pour tout i∈I i ∈ I .
C'est quoi le KER d'une application ?
Une application (linéaire ou pas) est surjective si et seulement si son image est égale à son ensemble d'arrivée tout entier.
L'ensemble Ker(f) est un sous-espace vectoriel de E, et l'ensemble Im(f) est un sous-espace vectoriel de F.
C'est quoi IM F ?
Im(f) est l'ensemble des y ∈ l'ensemble d'arrivée qui ont un antécédent par f, Im(f) fome aussi un sous espace vectoriel. oui quand je disais calculer Kerf et Imf je parlais de ce que contient cette ensemble (variant selon l'application).
De plus d'apr`es la formule du rang dim kerf + rg f = n, mais dim kerf = dim Imf = rg f, ainsi 2 rg f = n. (ii) ⇒ (i) Si f2 = 0 alors Imf ⊂ kerf car pour y ∈ Imf il existe x tel que y = f(x) et f(y) = f2(x) = 0.
De plus si 2rg f = n alors par la formule Du rang dimkerf = rg f c'est-`a-dire dim kerf = dim Imf.

Comment déterminer l'application linéaire ?