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Dual d'un espace vectoriel

Comment montrer qu'un espace vectoriel est un hyperplan ?
Soit H un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E de dimension finie. (.
.
1) H est un hyperplan si et seulement si c'est le noyau d'une forme linéaire non nulle. (.
2) Si H = Ker(ϕ) = Ker(ψ), alors il existe λ ∈ R∗ tel que ϕ = λψ.
Comment montrer une forme linéaire ?
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Propriétés.
Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).
Comment calculer la dimension d'un espace vectoriel ?
Pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel E, on détermine une famille B génératrice de E (ceci montre que E est de dimension finie), puis on vérifie que cette famille est libre.
La famille B est alors une base de E et le nombre de vecteurs dans la famille est la dimension de E.
Propriétés.
L'application ^tu ainsi associée à u est, comme elle, linéaire.
L'application qui à une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition.
C'est elle-même une application linéaire, de L(E, F) dans L(F*, E*).

Comment montrer qu'un espace vectoriel est un hyperplan ?