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CH IX : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Comment calculer la matrice d'un endomorphisme ?
u(e1+ei)=u(e1)+u(ei)=λ1e1+λiei. λ1=α=λi.
Ainsi, si un endomorphisme à une représentation matricielle diagonale dans toutes les bases de E, sa matrice est de la forme λIn et donc cet endomorphisme est de la forme λIdE.
Quel est le principe de la réduction de matrice ?
Réduire une matrice consiste à chercher une matrice semblable la plus simple possible : dans le meilleur des cas, une matrice diagonale (dont tous les éléments non diagonaux sont nuls — il s'agit alors d'une diagonalisation), sinon une matrice triangulaire supérieure (dont tous les éléments sous-diagonaux sont nuls —
Comment montrer que la matrice est diagonalisable ?
On dit que est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c'est-à-dire s'il existe deux matrices et de M n ( K ) telles que soit diagonale, inversible et M = P D P − 1 .
Une matrice colonne appartenant à M n , 1 ( K ) est un vecteur propre de si : V ≠ 0 et ∃ λ ∈ K , M V = λ V .
Pour déterminer ses valeurs propres il faut, d'après la caractérisation précédente, chercher les éléments de , tels que det ( f − λ I d E ) = 0 .
Pour cela il est naturel d'écrire la matrice associée à dans la base canonique et de calculer det ( A − λ I 2 ) qui est égal à det ( f − λ I d E ) .

Comment calculer la matrice d'un endomorphisme ?