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Ensembles et fonctions convexes

Comment savoir si un ensemble est convexe ?
Définition 12.1 (Ensemble convexe).
Un sous-ensemble C de Rn est dit convexe si ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], λx + (1 − λ)y ∈ C.
Dans la suite, par abus de langage et lorsque cela n'am`ene aucune ambiguıté, on parlera simplement d'un convexe ou d'un convexe de Rn pour désigner un sous-ensemble convexe de Rn.
Quelles sont les fonctions convexes ?
une fonction convexe est une fonction dont l'épigraphe est convexe ; dans un espace vectoriel topologique, une fonction qui vérifie l'inégalité de convexité pour les seuls milieux et qui est continue est convexe ; une fonction convexe vérifie l'inégalité de Jensen.
Qu'est-ce que l'ensemble convexe et la fonction convexe ?
Un ensemble convexe est un ensemble de points dans lequel la ligne AB reliant deux points A, B quelconques de l'ensemble se trouve complètement à l'intérieur de l'ensemble .
En d'autres termes, un sous-ensemble S de E ⁿ est considéré comme convexe si une combinaison linéaire θx ₁ + (1 − θ)x ₂ , (0 ≤ θ ≤ 1) est également incluse dans S pour toutes les paires de x ₁ , x ₂ ∈ S.
La définition d'une fonction convexe dit que si l'on prend deux points (x0,f(x0)) ( x 0 , f ( x 0 ) ) et (x1,f(x1)) ( x 1 , f ( x 1 ) ) sur la courbe représentative de f , alors le segment joignant ces deux points est situé au-dessus de la courbe représentative de f .

Étant donne un ensemble convexe. , une fonction à valeurs réelles : est si pour toute paire de points ,. ,. 1. 1. 0,1 . Donc est concave si est conv.Autres questions

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