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Chapitre 5 : La théorie de l'intégration de Riemann

Quand Dit-on qu'une fonction est Riemann intégrable ?
est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité a une mesure de Lebesgue nulle.
L'ensemble des discontinuités peut être de mesure nulle sans être fini ou dénombrable, comme pour la fonction caractéristique de l'ensemble de Cantor, qui n'est donc pas réglée.
Comment reconnaître une intégrale de Riemann ?
Définition : Soit f une fonction bornée sur [a,b] .
Alors f est Riemann intégrable si et seulement l'une des conditions équivalentes suivante est vérifiée : S−(f)=supσS−(f,\u03c.
3) S − ( f ) = sup σ S − ( f , σ ) et S+(f)=infσS+(f,\u03c.
3) S + ( f ) = inf σ S + ( f , σ ) sont égales.
Comment calculer le pas d'une subdivision ?
On appelle pas de la subdivision le réel h = max i = 1 , 2 , . . . , n ∣ x i − x i + 1 ∣ .
On déduit immédiatement qu'étant donné deux subdivisions et la subdivision σ ∪ σ ′ est plus fine que chacune des subdivisions et .
En pratique, elles permettent de calculer numériquement des aires sous la courbe de fonctions ou des longueurs d'arcs, ou inversement, de donner une valeur à des suites de sommes.
Elles peuvent également être utilisées pour définir la notion d'intégration.
Leur nom vient du mathématicien allemand Bernhard Riemann.

Quand Dit-on qu'une fonction est Riemann intégrable ?