Cours d"analyse 1Licence 1er semestreGuy LaffailleChristian Paulyjanvier 20062Table des mati`eres1 Les nombres r´eels et complexes 51.
1) Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51. 2) Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71. 3) Densit´e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111. 4) Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.
5) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 Logique et langage des ensembles 152.
1) Propositions et op´erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152. 2) Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162. 3) Techniques de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.3. 1) R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.3. 2) Contrapos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.3. 3) D´emonstration par l"absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182. 4) Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.
5) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193 Suites r´eelles et complexes 213.
1) Limite d"une suite r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213. 2) Propri´et´es de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233. 3) Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283. 4) Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293. 5) Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333.
6) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344 Fonctions d"une variable r´eelle 394.
1) Limite et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .394. 2) Propri´et´es de la limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414. 3) Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .424. 4) Fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444.
5) Propri´et´es des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474.
6) Application aux suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484.
7) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .505 D´eveloppements limit´es 555.
1) Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555. 2) Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555. 3) Calcul de d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595.
4) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6134TABLE DES MATI`ERES6 Fonctions classiques 636.
1) Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .636. 2) Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .636. 3) D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .656.
4) Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .667 Corrig´e des exercices 69Remerciements.Merci `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maertenpour les exercices de TD.Merci `a Michele Bolognesi pour la r´edaction de quelques corrig´es d"exercices.Merci `a Ivan Babenko pour la preuve de l"irrationnalit´e du nombre d"Euler.Chapitre 1Les nombres r´eels et complexes1.
1) Nombres rationnelsOn d´esigne parNl"ensemble des entiers naturelsN={0,1,2,3, }.Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNestun ensemble infini.
On noteN?l"ensembleN\{0}, c"est-`a-dire l"ensemble des entiers naturels nonnuls.´Etant donn´e deux entiers naturelsxetyon sait d´efinir les nombresx+y,x-y,x·yetxy,siy?= 0.On remarque que l"addition et la multiplication sont des op´erations qui ont leur r´esultat dansN.Par contre le r´esultat d"une soustraction ou d"une division n"est pas toujours un entier naturel.On cr´ee ainsi de nouveaux nombresZ={ ,-3,-2,-1,0,1,2,3, },l"ensemble des entiers relatifs - on noteraZ?=Z\ {0}- etQ=?ab|a?Zetb?Z??l"ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fractionabaveca·nb·npour touta?Zetb,n?Z?.On a bien entendu les inclusions suivantesN?Z?Qet les quatre op´erations ´el´ementaires +,-,·et/peuvent s"´etendre `a l"ensembleQdes nombresrationnels.Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´es s"exprimaient par des nombresrationnels.
Ils se sont aper¸cu que ce n"est pas toujours le cas. En effet on peut construire desnombres qui ne sont pas rationnels. Consid´erons par exemple un triangleABCrectangle enA56CHAPITRE 1.
LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESABCbcaSi on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB, alors le th´eor`eme dePythagore dit qu"on a la relationa2=b2+c2.Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d"un carr´e de cˆot´eb=c= 1 est ´egale `aa=⎷2.Proposition 1.1.
1) Le nombre⎷2n"est pas un nombre rationnel.D´emonstration.Nous allons faire une d´emonstration par l"absurde.
1) Supposons que⎷2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa,btels que⎷2 =a/b. Siaetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2.
En simplifiant par 2 autant que possible,on arrive au cas o`u au moins un des deux entiersaoubestimpair.En ´elevant au carr´e l"´egalit´e⎷2 =a/bet en chassant le d´enominateur, on arrive `a2b2=a2.Donca2est pair.
Siaest impair, on peut ´ecrirea= 2a?+ 1, alorsa2= 4a?2+ 4a?+ 1 qui estimpair.
On en d´eduit donc queaestpair, donc on peut ´ecrirea= 2a?, ce qui donne 2b2= 4a?2eten simplifiant par 2, on obtientb2= 2a?2.C"est la mˆeme ´equation que ci-dessus aveca?`a la place debetb`a la place dea.
Le mˆemeraisonnement montre alors quebest aussipair.
On a donc une contradiction et⎷2 ne peut pasˆetre rationnel.Voici d"autres exemples de nombres irrationnels.1.Le nombreπ= 3,1415 d´efini comme la circonf´erence d"un cercle de diam`etre 1.2.Le nombre d"Eulere= 2,718 , la base de l"exponentielle, d´efini comme somme infinie2e= 1 +11!+12!+13!+···+1k!+···3.Les racines carr´es⎷nsinest un entier qui n"est pas un carr´e, c"est-`a-dire qui n"est pas dela formen=k2aveck?N.Proposition 1.1.
2) Le nombre d"Euleren"est pas un nombre rationnel.1voir section 2.3.32Par d´efinitionn! = 1·2·3···n1.2.
NOMBRES R´EELS7D´emonstration.Comme pour⎷2 nous allons faire une d´emonstration par l"absurde. Supposonsdonc queeest rationnel. Il existe alors deux entiersa,b?N?tels quee=ab= 1 +11!+12!+13!+···+1n!+···Multiplions parb!.
Alors on obtient l"´egalit´eabb!-?b! +b! +b!2!+b!3!+···+b!b!?1b+ 1+1(b+ 1)(b+ 2)+1(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3)+···+1(b+ 1)(b+ 2)···(b+n)+···Il est clair que tous les termes de la somme `a gauche sont des nombres entiers, donc la somme,qu"on noteras, est aussi un entier.
En utilisant la minoration(b+ 1)(b+ 2)···(b+n)>(b+ 1)non obtient un l"encadrement suivant des0< s <1b+ 1+1(b+ 1)2+1(b+ 1)3+···+1(b+ 1)n+···.Cette derni`ere somme infinie vaut1b+1·11-1b+1=1bd"apr`es la formule donnant la somme d"une s´erieg´eom´etrique (voir (1.1)).
Ainsi on obtient l"encadrement0< s <1b≤1,ce qui contreditsentier.La preuve de l"irrationalit´e deπet d´epasse largement le cadre de ce cours.
Nous renvoyons parexemple au livre "Autour du nombreπ" de Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon.Par contre l"irrationalit´e de⎷nse montre de la mˆeme fa¸con que celle de⎷2 (exercice).1.
2) Nombres r´eelsLa proposition 1.1.1 dit que⎷2 n"est pas rationnel, c"est-`a-dire ne peut pas s"´ecrire commequotient de deux entiers.
Cependant nous savons que le nombre⎷2 peut s"´ecrire sous forme d"und´eveloppement d´ecimalinfini⎷2 = 1,41421356Dans ce cours nous prenons cette repr´esentation d´ecimale comme d´efinition d"un nombre r´eel.D´efinition 1.2.1 (nombre r´eel)Un nombre r´eel est une collection de chiffres{c0, ,cm}et{d1,d2, }compris entre0et9.
Les chiffrescisont en nombre fini et les chiffresdjpeuvent ˆetreen nombre infini.
On fait correspondre `a cette collection le nombre donn´e par le d´eveloppementd´ecimalx=cmcm-1 c1c0,d1d2d3 dnExemples.
8) CHAPITRE 1.
LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXES1.Les d´ecimales du nombreπsontc0= 3, d1= 1, d2= 4, d3= 1, 2.S"il n"y a qu"un nombre fini de d´ecimalesdjnon nulles, alors le r´eelxest un rationnel etx=cm10m+cm-110m-1+···+c110 +c0+d110-1+···+dn10-n(xest rationnel, car c"est une somme de rationnels).3.Un nombre rationnel admet un d´eveloppement d´ecimal, donc est r´eel.
On a13= 0,3333 (que des 3)Th´eor`eme 1.2.
1) Un nombre r´eel est rationnel si et seulement si son d´eveloppement d´ecimal estp´eriodique `a partir d"un certain rang.Nous admettons ce r´esultat.
On peut se convaincre que c"est vrai en effectuant une division dedeux entiers (3/7 par exemple) et en constatant qu"il n"y a qu"un nombre fini de possibilit´es pourles restes, donc ¸c`a boucle.Remarques.1.Cette d´efinition nous suffira pour ce cours mais elle n"est pas tr`es satisfaisante.
D"abord unnombre r´eel peut avoir deux d´eveloppements d´ecimaux distincts. Par exemple 1 = 0,9999(toujours des 9).
On peut pour s"en convaincre ´ecrire0,9999···=9101 +110+···+110n···?On voit qu"on a affaire `a un progression g´eom´etrique et on peut utiliser la formule donnantla somme d"une s´erie g´eom´etrique11-a= 1 +a+a2+···+an+···(1.1)vraie pour tout r´eelatel que|a|<1 (ici on prenda=110.)2.Cette d´efinition fait r´ef´erence au nombre 10.
On peut prendre une autre base de num´eration,ce qui donnerait une d´efinition ´equivalente d"un nombre r´eel.3.Les op´erations addition, multiplication, ne sont pas si faciles que l"on pourrait le penser`a cause du probl`eme des retenues.4.Il existe des constructions plus intrins`eques de l"ensemble des r´eels.
Ces constructions d´epassentle cadre de ce cours.5.Il est impossible de d´efinir rigoureusement le nombreπpar son d´eveloppement d´ecimal.
Ilfaudrait un temps et un espace infini pour calculer TOUTES les d´ecimales deπ! Donner unevaleur approch´ee (utilis´ee dans le calcul num´erique) d"un nombre r´eel, aussi bonne qu"ellesoit, n"est pas une d´efinition au sens math´ematique.L"ensemble des r´eels sera not´eRet l"on a les inclusionsN?Z?Q?R.On notera tr`es souventR?l"ensemble des r´eels non nuls.L"ensemble des r´eelsRadmet une relation d"ordre not´ee≤.
C"est la relation habituelle sur lesr´eels.1.2.
NOMBRES R´EELS9D´efinition 1.2.2 (majorant, minorant, partie born´ee)SoitAune partie deR.1.Le r´eelMest unmajorantdeAsi pour touta?Aon aa≤M.
On dit queAestmajor´eesiAa un majorant.2.Le r´eelmest unminorantdeAsi pour touta?A, on am≤a.
On dit queAestminor´eesiAa un minorant.3.Si la partieAest major´ee et minor´ee, on dit queAestborn´ee.D´efinition 1.2.3 (intervalle, segment)Soienta,bdeux r´eels tels quea≤b.1.On note[a,b]l"ensemble des r´eelsxtels quea≤x≤b.
C"est un intervalleferm´e. On ditaussi que[a,b]est un segment.2.On note]a,b[l"ensemble des r´eelsxtels quea < x < b.
C"est un intervalleouvert.On d´efinit de mˆeme les intervalles mixtes ou semi-ouverts [a,b[ et ]a,b].
On introduit aussi lesymbole∞(appel´e l"infini) et on note [a,+∞[ l"ensemble desxr´eels tels quea≤xet ]-∞,a]l"ensemble des r´eelsxtels quex≤a.Exemples.-1,23,πsont des majorants du segmentA= [0,1]. 1 est un majorant deA= [0,1[.-L"intervalle [a,+∞[ n"a pas de majorant.Th´eor`eme 1.2.2 (Propri´et´e d"Archim`ede)Soientxetydeux r´eels>0, alors il existe unentierntel queny > x.Nous ne d´emontrons pas cette propri´et´e.
Elle dit qu"en faisant assez de pas de longueuryond´epassex.
D"ailleurs avec notre d´efinition des r´eels la propri´et´e d"Archim`ede est ´evidente, ce quiest loin d"ˆetre le cas quand on d´efinit un nombre r´eel de mani`ere intrins`eque.D´efinition 1.2.4 (borne sup´erieure, borne inf´erieure)SoitAune partie non vide deR(ouplus g´en´eralement d"un ensembleEmuni d"un ordre total≤).
On appelleborne sup´erieuredeAle minimum de l"ensemble des majorants deAetborne inf´erieuredeAle maximum de l"ensembledes minorants deA.Avant d"´enoncer le th´eor`eme d"existence de la borne sup´erieure dansR, montrons que la bornesup´erieure n"existe pas toujours.
On se place dansQmuni de l"ordre naturel.Proposition 1.2. 1) Consid´erons la partieA={x?Q|x2<2}. AlorsAn"a pas de bornesup´erieure dansQ.D´emonstration.SoitMun majorant deAdansQ. Il y en a : 2,127en sont.
PosonsM?=M2+ 22M.Nous allons v´erifier queM?est un autre majorant (dansQ) et queM?< M, ce qui prouve qu"iln"y a pas de plus petit majorant.Montrons queM?est un majorant : il suffit de voir queM?2>2.
On calculeM?2-2 =(M2+ 2)24M2-2 =M4-4M2+ 44M2=(M2-2)24M210CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESqui est bien strictement positif. En effetM2-2?= 0, car sinon⎷2 serait rationnel (voir proposition1.1.1).V´erifions queM?< M.
On calculeM-M?=M-M2+ 22M=M2-22Mqui est bien strictement positif puisqueMest un majorant rationnel deA.On peut aussi tracer le graphe de la fonction qui donneM?en fonction deMy=x2+ 22xC"est une hyperbole de centre l"origine, d"asymptotex= 0 ety=x/2 qui coupe la premi`erebissectrice au point (⎷2,⎷2) o`u on a une tangente horizontale.
On voit alors imm´ediatement surle dessin que⎷2< M?< Msi on a prisM >⎷2.MM0p2Remarque.Le choix de la fonctionfqui d´efinitM?=f(M) n"est pas essentiel.
Ici on a choisif(x) =x2+22x,mais n"importe quelle fonction rationnelle (=quotient de deux polynˆomes) satisfaisant aux troisconditions (1)f(⎷2) =⎷2, (2)f?(⎷2) = 0, (3)fcroissante etf(x)≤xsur l"intervalle [⎷2,+∞[aurait pu servir dans la preuve pr´ec´edente.
Ceci sera expliqu´e en d´etail un peu plus tard (section4.6).Th´eor`eme 1.2.
3) SoitAune partie non vide deR.1.SiAest major´ee, alorsAadmet une borne sup´erieure, not´eesupA.2.SiAest minor´ee, alorsAadmet une borne inf´erieure, not´eeinfA.Nous admettons ce th´eor`eme.Exemples.-On a sup[0,1] = 1 et sup[0,1[ = 1.-On a sup{x?Q|x2<2}=⎷2 mais comme partie deQon vient de voir que cette partien"a pas de borne sup´erieure.1.3.
DENSIT´E DES RATIONNELS ET IRRATIONNELS111. 3) Densit´e des rationnels et irrationnelsD´efinition 1.3.1 (densit´e)SoitAune partie deR. On dit queAestdensedansRsiArencontretout intervalle ouvert]a,b[aveca < b.Th´eor`eme 1.3. 1) L"ensembleQest dense dansR.D´emonstration.Soita,bdeux r´eels tels quea < b.
Il s"agit d"exhiber un rationnelp/qtel quea < p/q < b.En appliquant la propri´et´e d"Archim`ede (th´eor`eme 1.2.2), on voit qu"il existe un entierqtelque1b-a< q(on prendy= 1 etx= 1/(b-a)).
On obtientqa+ 1< qb.(1)Soitple plus petit entier relatif tel quep > qa. On a alorsp-1≤qa < p,(2)doncp≤qa+ 1 etqa < p≤qa+ 1< qb. En divisant parqon a le r´esultat d´esir´e.Th´eor`eme 1.3.
2) L"ensemble des nombres irrationnels not´eR\Qest dense dansR.D´emonstration.Soitiun nombre irrationnel, par exemple⎷2.Soientaetbdeux r´eels tels quea < b.
On applique le th´eor`eme pr´ec´edent `a ]a-i,b-i[ : ilexiste un rationnelrtel quea-i < r < b-i. Alorsa < i+r < b. Le nombrex=i+restirrationnel, sinoni=x-rserait rationnel contrairement `a l"hypoth`ese.
Le th´eor`eme est doncd´emontr´e.Remarque.Il y a beaucoup plus de nombres r´eels que de nombres rationnels.
On peut montrer que lesensemblesZetQpeuvent ˆetre mis en bijection avecN, c"est-`a-dire que l"on peut num´eroter avecles entiers naturels les ´el´ements deZetQ.
On dit queZetQsont d´enombrables. Par contreRn"est pas d´enombrable (th´eor`eme de Cantor) et pourtantQest dense dansR.1.
4) Nombres complexesCertains polynˆomes `a coefficients r´eels, par exempleP(x) =x2+1, n"ont pas de racines r´eelles.Le polynˆomeP(x) =ax2+bx+caveca?= 0 a deux racines-b±⎷Δ2asi le discriminant Δ =b2-4acest≥0.
Si Δ<0, il y a un probl`eme.
Grˆace aux nombres complexeson peut donner un sens math´ematique aux racines carr´ees de nombres n´egatifs.D´efinition 1.4.1 (nombre complexe)Un nombre complexe est un couple de nombres r´eels(a,b).12CHAPITRE 1.
LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESOn d´efinit l"addition et la multiplication des nombres complexes par les formules(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)(a,b)·(c,d) = (ac-bd,ad+bc)On noteile nombre complexe (0,1).
La formule du produit donnei2= (0,1)·(0,1) = (-1,0).En identifiant le r´eelaavec le nombre complexe (a,0), l"´egalit´e pr´ec´edente s"´ecriti2=-1.Ainsiiapparait comme une racine carr´e de-1.
C"est pourquoi on ´ecrit tr`es souventi=⎷-1.On peut alors noter de mani`ere plus agr´eable (a,b) =a+ibet on v´erifie que la formule qui donnele produit vient du d´eveloppement de(a+ib)(c+id) =ac+i(bc+ad) +i2bd=ac-bd+i(ad+bc).Siz=a+ib, avecaetbr´eels,aest appel´e la partie r´eelle dezetbsa partie imaginaire.Sizest un nombre complexe non nul, c"est-`a-dire siaoubest non nul, alorsza un inversemultiplicatif : il existez?tel quezz?= 1.On v´erifie aussi quez·z?=z?·zpour tout nombre complexezetz?.D´efinition 1.4.2 (conjugu´e, module, argument)Soitz=a+ibun nombre complexe aveca,br´eels.1.Leconjugu´edezest le nombre complexez=a-ib.2.Lemoduledezest le nombre r´eel positif⎷a2+b2=⎷zz.
On note|z|le module dez.3.L"argumentdezest le nombre r´eelθ?[0,2π[tel quez=|z|(cosθ+isinθ).On ´etablit sans peine les formules suivantes-|z·z?|=|z| · |z?|-|z|=|z|-1z=z|z|2pourz?= 0L"ensemble des nombres complexes sera not´eC.Interpr´etation g´eom´etrique : plan complexeOn associe `az=a+ibaveca,br´eels le point du plan de coordonn´ees (a,b).1.5.
EXERCICES13b= sina= cosz=a+ibD´efinition 1.4.3 (exponentielle)L"exponentielle complexe est d´efinie parez= 1 +z1!+z22!+···+znn!+···Il faut ´evidemment donner un sens `a cette somme infinie.
On a alorsTh´eor`eme 1.4.1 (Formule de Moivre)Pour toutθ?R, on aeiθ= cosθ+isinθ.Th´eor`eme 1.4.
2) Pour toutz,z??Con a la formuleez+z?=ez·ez?.Cette formule jointe `a la formule de Moivre permet de retrouver beaucoup de formules de trigo-nom´etrie.1.
5) ExercicesExercice 1.1.Trouver des entiers naturelsa,btels queab= 5,1736363636 - `a partir de latroisi`eme d´ecimale le d´eveloppement d´ecimal est compos´e d"une suite infinie de nombres 36.Exercice 1.2.Pour chacune des parties suivantes deRdire si elle est major´ee, minor´ee, born´ee.Si oui, donner sa borne sup´erieure et/ou inf´erieure :1.{x?R|0< x <⎷3}2.{x?R|1/2≤sinx <⎷3/2}3.{x?R|x3>3}4.{x?R|exp(x)<1/2}5.{x?R|il existep?N?tel quex=⎷2/p}14CHAPITRE 1.
LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESExercice 1.3.Pour tout nombre r´eelx?=-1/3, on poseg(x) =2x+ 13x+ 1.1.Tracer le graphe de la fonctionx?→g(x).2.On poseg(N) ={g(0),g(1),g(2), }Quel est le plus petit majorant deg(N)? de l"ensembleg(Z)?3.Trouver le plus grand minorant de l"ensembleg(N).4.L"ensembleg(Z) est-il born´e?Exercice 1.4.Mettre les nombres complexes suivants sous la formea+ib, aveca,br´eels :15 + 3i,3 + 2i3-2i,1(4 + 3i)(3-2i).Exercice 1.5.Calculer sous la formea+ib, aveca,br´eels, les racines carr´ees des nombrescomplexes suivants1 +i⎷3,5 + 12i,1 +i1-i.Exercice 1.6.Calcul
