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Feuille de TD 1 : Réduction des endomorphismes

Comment calculer l endomorphisme ?
L'endomorphisme fa,b est donc une symétrie si, et seulement si, {a2+b2=12Re(a)b=0.
Dans le cas b=0, on obtient a=±1. a=ix et b=√1+x2eiθ avec (x,θ)∈ℝ2.
Comment montrer que c'est un endomorphisme ?
Si F = E, f est appelée un endomorphisme.
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Propriétés.
Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).
Comment montrer que la matrice est diagonalisable ?
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc .
Rappel.
Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.

Comment calculer l endomorphisme ?