Sémiologie cardiologique et vasculaire
Sémiologie cardio-vasculaire
Cours de Sémiologie
Sémiologie cardiaque
Généralités sur la sémiologie cardiovasculaire
Cours de chimie générale
Filière SVT-S1 Module 6 « Chimie Générale »
Clefs 60
Mes premières expériences de chimie
La chimie de la corrosion

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Pierre COLMEZÉLÉMENTS D"ANALYSE ETD"ALGÈBREPierre COLMEZC.M.L.S., École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France.ÉLÉMENTS D"ANALYSE ET D"ALGÈBREPierre COLMEZSYNOPSISIntroduction 1Vocabulaire Mathématique 9I.

Représentations des groupes finis 245II. Espaces de Banach .283III. Intégration .315IV. Transformée de Fourier 351V. Fonctions holomorphes .377VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy) 403VII. Séries de Dirichlet 427A. Le théorème des nombres premiers 459B. Volume deSLn(R)=SLn(Z) .481C. Groupes finis et représentations : exemples .497D. Fonctions d"une variablep-adique 513E. Irrationalité d"une infinité de(2n+ 1) .531F. Le problème des nombres congruents 541G. Introduction au programme de Langlands 559H.

Problèmes corrigés .595Index 685TABLE DES MATIÈRESIntroduction 1Vocabulaire Mathématique 91.

Grammaire élémentaire 102. Structures algébriques 173. Groupes finis 404. Polynômes 515. Algèbre linéaire 656. Déterminants 767. Matrices 798. Fragments de théorie des corps (commutatifs) 949. Systèmes d"équations 10610. Réduction des endomorphismes 11611. Topologie 13512. Compacité .14613. Connexité 15514. Complétude 15915. Séries numériques 16416. Convergence de fonctions 17417. Espaces vectoriels normés 17618. Espaces préhilbertiens 18119. Tératologie 19320. Construction de nombres 20021. Corrigé des exercices 212I. Représentations des groupes finis 245I.1. Représentations et caractères 247I.2. Décomposition des représentations .254I.3. Construction de représentations 270II. Espaces de Banach .283II.1. Espaces de Banach 283II.2. Espaces de Hilbert 299II.3. Exercices .307TABLE DES MATIÈRESviiII.4. Espaces de Banachp-adiques 310III. Intégration .315III.1. Intégrale de Lebesgue .315III.2. Quelques espaces fonctionnels 329III.3. Intégrales multiples 335III.4. Construction de l"intégrale de Lebesgue 343IV. Transformée de Fourier 351IV.1. Intégrales dépendant d"un paramètre 351IV.2. Transformée de Fourier dansL1 354IV.3. Formules d"inversion 359IV.4. Transformée de Fourier dansL2 370V. Fonctions holomorphes .377V.1. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes 377V.2. Exemples de fonctions holomorphes 383V.3. Premières propriétés des fonctions holomorphes 385V.4. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences .389V.5. Construction de fonctions holomorphes .396V.6. Inversion globale et image ouverte .400VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy) 403VI.1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy 403VI.2. Indice d"un lacet par rapport à un point 410VI.3. La formule des résidus de Cauchy .416VII. Séries de Dirichlet 427VII.1. Séries de Dirichlet 427VII.2. Séries de Dirichlet et transformée de Mellin 431VII.3. La fonction zêta de Riemann 437VII.4. FonctionsLde Dirichlet 444VII.5. Autres exemples 451VII.6. Formes modulaires 452A. Le théorème des nombres premiers 459A.1. Introduction .459A.2. Les fonctions et 1 463A.3. Formules explicites 466A.4. Démonstration du théorème des nombres premiers 474A.5. Compléments 477B. Volume deSLn(R)=SLn(Z) 481B.1. Volume d"objets arithmétiques 481B.2. La mesure de Haar deSLn(R) 491C. Groupes finis et représentations : exemples 497C.1. p-Groupes 497C.2. Représentations du groupe symétriqueSn .499viiiTABLE DES MATIÈRESC.3. Représentations deGL2(F) 503D. Fonctions d"une variablep-adique .513D.1. Analyses fonctionnelles réelle etp-adique 513D.2. Fonctionsk-fois uniformément dérivables 515D.3. Fonctions localement analytiques surZp 519D.4. La fonction zêtap-adique 523E. Irrationalité d"une infinité de(2n+ 1) 531E.1. Indépendance linéaire de nombres réels .531E.2. Transcendance deet indépendance linéaire des(n) 533F. Le problème des nombres congruents 541F.1. Courbes elliptiques et nombres congruents .541F.2. Équations diophantiennes 551G. Introduction au programme de Langlands 559G.1. La conjecture d"Artin 561G.2. Le théorème de Kronecker-Weber revisité .572G.3. Le programme de Langlands 588H. Problèmes corrigés 595H.1. Exercices d"examen 596H.2. Table des caractères deA5 .610H.3. Représentations deGL2(F3) 616H.4. Table des caractères deGL3(F2) 621H.5. Coefficients de Fourier des fonctions continues 629H.6. Fonctions d"Hermite et transformée de Fourier dansL2 631H.7. Transformée de Fourier et convolution 635H.8. Loi d"addition sur une courbe elliptique 639H.9. Coefficients de Fourier des fonctions analytiques 645H.10. Prolongement analytique d"intégrales et de séries 647H.11. La fonctionde Dedekind 654H.12. Irrationalité de(3) 665H.13. Le critère de Borel 670H.14.

Le théorème de Mordell-Weil 673Index 685TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉEIntroduction 1Bibliographie sommaire 3Préface de la seconde édition 5Notations standard 7Vocabulaire Mathématique . 91.

Grammaire élémentaire 101.1. Coefficients binomiaux 111.2. L"anneauZdes entiers relatifs . 111.3. Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste 141.4. Ensembles dénombrables . 152. Structures algébriques . 172.1. Lois de composition . 172.2. Exemples de structures algébriques . 182.3. Sous-trucs de trucs 222.4. Morphismes 232.5. Noyau et image 252.6. Produits et sommes 262.7. Relations d"équivalence 282.8. L"anneauZ=DZdes entiers relatifs moduloD 312.9. Quotients d"espaces vectoriels et deA-modules 342.10. Anneaux quotients, idéaux 352.11. Groupes quotients 373. Groupes finis 403.1. Groupes cycliques 403.2. Groupes abéliens finis 433.3. Le théorème de Lagrange et ses variantes . 443.4. Le groupe symétriqueSn . 453.5. Les théorèmes de Sylow 504. Polynômes . 514.1. Polynômes en une variable 514.2. Anneaux euclidiens et principaux 544.3. Polynômes en plusieurs variables 604.4. Polynômes symétriques 624.5. Anneaux noethériens 635. Algèbre linéaire . 65xTABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE5.1. Espaces vectoriels . 655.2. Morphismes d"espaces vectoriels 665.3. Familles libres, familles génératrices, bases 685.4. Espaces vectoriels de dimension finie 705.5. Dualité 746. Déterminants 766.1. Formes multilinéaires alternées 766.2. Déterminant denvecteurs 776.3. Déterminant d"un endomorphisme 787. Matrices 797.1. Matrices à coefficients dans un corps 797.2. Produit de matrices . 807.3. Le théorème fondamental de l"algèbre linéaire 807.4. Matrice d"une application linéaire 817.5. Matrices carrées 837.6. Déterminant d"une matrice carrée 847.7. Matrices à coefficients dans un anneau 887.8. Matrices par blocs 928. Fragments de théorie des corps (commutatifs) . 948.1. Sous-extensions finies 948.2. Algébricité, transcendance 968.3. Extensions algébriques, clôture intégrale 978.4. Constructions à la règle et au compas 998.5. Degré de transcendance 1008.6. Constructions d"extensions algébriques 1018.7. Corps finis .1038.8. La clôture algébrique d"un corps 1049. Systèmes d"équations 1069.1. Systèmes linéaires 1069.2. Systèmes d"équations polynomiales .11010. Réduction des endomorphismes 11610.1. Généralités .11610.2. Modules de torsion surK[X]et réduction des endomorphismes .11910.3. Modules de torsion sur les anneaux principaux 12510.4. Modules sur les anneaux principaux 12710.5. Extension des scalaires 13111. Topologie .13511.1. Espaces topologiques 13611.2. Espaces métriques 13711.3. Continuité 13911.4. Sous-espaces, produits, quotients 14011.5. Espaces séparés 14211.6. Intérieur, adhérence, densité .14411.7. Suites dans un espace topologique .14512. Compacité 14612.1. Espaces compacts 14612.2. Compacité et suites .14712.3. Propriétés de base des compacts 14812.4. La droite réelle achevée 15312.5. L"espace topologiqueT=R=Z 154TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉExi13. Connexité 15513.1. Ensembles connexes 15513.2. Connexité par arcs .15714. Complétude 15914.1. Suites de Cauchy 15914.2. Principales propriétés des espaces complets 16014.3. Complétion d"un espace métrique .16215. Séries numériques 16415.1. Séries à termes positifs 16415.2. Séries standard 16615.3. Séries absolument convergentes 16715.4. Séries entières 16915.5. L"exponentielle complexe 17015.6. Sommation de séries divergentes 17216. Convergence de fonctions 17416.1. Convergence simple .17416.2. Convergence uniforme 17517. Espaces vectoriels normés 17617.1. Corps normés 17617.2. Normes et applications linéaires continues 17717.3. La norme d"un opérateur 17717.4. Normes équivalentes 17817.5. Norme spectrale d"un opérateur 17917.6. La boule unité d"un espace vectoriel normé 18017.7. Applications bilinéaires continues .18118. Espaces préhilbertiens 18118.1. Produits scalaires 18218.2. Orthogonalité 18218.3. Unitarité 18518.4. Opérateur autoadjoint, matrice hermitienne 18919. Tératologie 19319.1. Fonctions continues dérivables nulle part .19319.2. L"escalier du diable .19419.3. L"ensemble triadique de Cantor 19519.4. La courbe de Peano 19619.5. Ensembles connexes non connexes par arcs 19820. Construction de nombres 20020.1. Entiers naturels 20020.2. Entiers relatifs, nombres rationnels 20120.3. Nombres réels, nombres complexes 20220.4. Nombresp-adiques .20321. Corrigé des exercices .212I. Représentations des groupes finis 245I.1. Représentations et caractères 2471. Représentations de groupes, exemples 2472. Caractère d"une représentation, exemples .2503. Morphismes de représentations 252I.2. Décomposition des représentations 2541. Décomposition en somme directe de représentations irréductibles .2552. Le lemme de Schur et ses conséquences immédiates .257xiiTABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE3. Orthogonalité des caractères 2584. Applications du théorème principal 2605. Le cas des groupes commutatifs .2626. Table des caractères d"un groupe fini .265I.3. Construction de représentations 2701. Restriction et inflation 2702. Constructions tensorielles de représentations 2713. Représentations induites 2744. Exercices 279II. Espaces de Banach 283II.1. Espaces de Banach 2831. Convergence normale, séries sommables 2842. Espaces de suites 2863. Espaces de fonctions continues 2874. Équations différentielles linéaires 2905. Complétion d"espaces vectoriels normés 2956. Applications linéaires continues entre espaces de Banach 2967. Le dual d"un espace de Banach 299II.2. Espaces de Hilbert 2991. Espaces de Hilbert 3002. Le théorème de projection sur un convexe 3043. Le dual d"un espace de Hilbert 305II.3. Exercices 3071. Espaces de Banach .3072. Espaces de Hilbert 3083. Séries de Fourier 309II.4. Espaces de Banachp-adiques 3101. Définition et exemples .3102. Bases orthonormales 3113. Le dual d"un espace de Banachp-adique 312III. Intégration 315III.1. Intégrale de Lebesgue .3151. Dallages et fonctions en escalier .3152. Ensembles de mesure nulle .3173. Fonctions mesurables, ensembles mesurables 3204. Définition de l"intégrale de Lebesgue .3235. Les théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée 3266. Premières applications .328III.2. Quelques espaces fonctionnels 3291. L"espaceL1(X) 3292. L"espaceL2(X) 3313. Convergence dansL1etL2 .3324. Comparaison des différents modes de convergence 3335. EspacesLp 334III.3. Intégrales multiples 3351. Le théorème de Fubini .3352. La formule du changement de variable 3393. L"intégrale de la gaussienne 3414. Exercices 342TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉExiiiIII.4. Construction de l"intégrale de Lebesgue 3431. Le théorème de convergence dominée pour les fonctions en escalier bornées 3442. Mesure et mesure extérieure des ensembles mesurables 3463. Le théorème de convergence monotone pour les fonctions bornées à support compact 3474. Limites simples p.p. de fonctions mesurables 3485. Le théorème de convergence monotone et ses conséquences 349IV. Transformée de Fourier 351IV.1. Intégrales dépendant d"un paramètre 351IV.2. Transformée de Fourier dansL1 .3541. Caractères linéaires deRetRm 3542. Définition et premières propriétés 3553. Le théorème de Riemann-Lebesgue 3564. Transformée de Fourier et dérivation .357IV.3. Formules d"inversion 3591. Séries de Fourier 3592. Séries de Fourier multidimensionnelles 3623. La formule de Poisson .3674. La formule d"inversion de Fourier dansS .3685. Formules d"inversion dansL1 3696. Exercices 370IV.4. Transformée de Fourier dansL2 .3701. Transformée de Fourier des fonctions en escalier .3712. Définition de la transformée de Fourier dansL2 3733. Comparaison des transformées de Fourier dansL1etL2 .3744. Dérivation 375V. Fonctions holomorphes 377V.1. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes 3771. Séries entières .3772. Rayon de convergence d"une série entière .380V.2. Exemples de fonctions holomorphes 3831. Définition 3832. Logarithme et fonctions puissances 383V.3. Premières propriétés des fonctions holomorphes 3851. Relations de Cauchy-Riemann 3852. Théorème des zéros isolés et unicité du prolongement analytique 3863. Principe du maximum .388V.4. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences .3891. Généralités sur les chemins .3892. Intégration le long d"un chemin .3903. La formule de Cauchy .3924. Holomorphie des fonctions dérivables au sens complexe 3925. Rayon de convergence et inégalités de Cauchy pour les dérivées 394V.5. Construction de fonctions holomorphes 3961. Séries de fonctions holomorphes .3962. Produits infinis de fonctions holomorphes .3973. Fonctions holomorphes définies par une intégrale 398V.6. Inversion globale et image ouverte 4001. Le théorème d"inversion locale holomorphe 4002. Structure locale des fonctions holomorphes .401xivTABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉEVI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy) 403VI.1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy 4031. Vocabulaire de topologie algébrique 4032. Un cas particulier de la formule de Stokes 4043. Seconde démonstration de la formule de Cauchy .409VI.2. Indice d"un lacet par rapport à un point 4101. Primitives 4102. Nombre de tours d"un lacet autour d"un point 412VI.3. La formule des résidus de Cauchy 4161. Fonctions holomorphes sur une couronne .4162. Fonctions holomorphes sur un disque épointé; résidus 4193. La formule des résidus .4224. Exercices 422VII. Séries de Dirichlet 427VII.1. Séries de Dirichlet .4271. Abscisse de convergence absolue .4272. Demi-plan de convergence d"une série de Dirichlet 429VII.2. Séries de Dirichlet et transformée de Mellin 4311. La fonctiondans le plan complexe .4312. Une formule intégrale pour les séries de