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BASESD'ANALYSE FONCTIONNELLEJean-YvesCHEMINLaboratoireJ.-L.Lions,Case187UniversitéPierreetMarieCURIE,4Plac eJussieu75230ParisCedex0 5,FranceTélécopie:0144277200,adre ss eélect roniqu e:chem in@an n.jussieu .fr17décem bre20172Sommaire1Espacesmétriques71.

1) Définiti ondesespacesmétriques . . 71. 2) Espacesco mplets 141. 3) Lanoti ondeco mpacité . . 182Es pacesnormés,espacesd eBanach272. 1) Définit iondesespacesnormésetdesespacesde Banach. . .272. 2) Lesespa cesd'ap plicationslinéair escontinues 322. 3) Espacesd eBanach,compacité etdimens ionfinie 382. 4) Compacit édanslesespacesdefonctions continues:leth éorèmed 'Ascoli 402. 5) Autour duthéorèmedeStone-Wei erstras s . 4 12. 6) Notion sd'espacesséparables 463Du alitédanslesespacesd eBanach513. 1) Présenta tionduconceptdedualité . 513. 2) Identifi cationd'unespacenorméavecundual . 543. 3) Unedéfin itionaaibliedelaconvergence dansE574EspacesdeHilbert634. 1) Leconcep td'ort hogonalité 634. 2) Lesprop riétésdes espacesdeHilbert . 654. 3) Dualit édesespacesdeHilbert . . . 704. 4) Adjoin td'unopérateuretopérat eursauto-adjo ints . 735EspacesLp815. 1) Rappels urlathéoriedela mesureetdéfin itiond esespacesLp825. 2) Lesespa cesLpcommeespacesdeBan ach . 845. 3) Densité danslesespacesLp.905. 4) Convolu tionetrégularisation . 975. 5) Dualitée ntre LpetLp1036LeproblèmedeDirichlet1096. 1) Uneap procheclas siqueduproblème 1106. 2) Leconcept dequas i-dérivée . 1116. 3) L'espace H10)etle probl èmedeDirichlet .11337LatransformationdeFourier1177. 1) Latran sforméed eFouriersurL1(Rd) .1177. 2) Laformu led'in versionetlethéorèmede Fourier-Plancherel .1217. 3) Démons trationduthéorèmedeRellich . 1238Lesdistributionstempéréesenunedimension1258. 1) Définit iondesdistributionstempér ées;Exemp les 1268. 2) Opérati onssurlesdistributionstempérées 1318.

3) Deuxexemp lesd'appli cations 1424IntroductionCetex teestlesuppo rtducou rs"Bases d'Analysefonctionnelle" delapr emièreannéeduMasterdeMathémati quesde l'UniversitéParisetMarieCurie.Lebutd ececours estd'acquérirunemaîtri seélémentrairemaissolided' outilsquisontfondamentauxpou rlacompréhensi ondemath ématiquesintervenantaussibiendanslecoeu rdeladiscipline(géométrie,pro babilités,équationsauxdérivéespartielles )qu'enphy sique,enmécanique,ou biendanslesapplicationsdesmath ématiquesàl'analysedesgrandssystèmes, l'a nalysed'image,statistique .Toutd'abord, quelquesremarquesgénéralespour utilisercesnotes.Tout d'abord,ilnes'agitpasd'untrait é.Certainsr ésultatsclassi quessontabsentscomme lethéorèmedeCauchy-Lipschitzparcequ'exposésdansd 'autrescours, oubientraitésdansuncaspart iculiercommelethéor èmedeStone-Weierstras s.Ilar rivequedesdémonstrationsfacilesquinesontquedesappl icationssimplesdesdéfinitionssoientesqu isséesetmêmeomises.Iles tévident queleurrédactio ndétailléeconstitueunexcel lentexerciced'apprentissag e.D'unemanièregéné-rale,lelecteurdés ireuxd' acquérirdebon nesconnaissancesdesconcep tsintroduitsdevraseréapproprierlesdémonstrationsducou rs.Desdémon strationsqui,soitnesontpasconsidéréescomme centralesdansle courssoitsontconsidéréesco mmetropdiciles,sontprésen téesdanscesnotes enpetitscaractères.Ellesnesont pastraitéesencou rsmaisso ntlàpoursatisfaire la curiositéd'au diteursmotiv és.Lastru cturedecesnotesestlasuivante :Dans lec hapitre1,son texpos éeslesn otionsdebasedelatopo logied esespacesm étriquesavecnotammentlesnotion sd'esp acescompletsetd'espacescompacts.Ils' agitd'unchapitredont lesrésul tatsdoiventabsolum entêtremaîtris és.Lechap itre2estconsacréàl'étudedes espa cesvector ielsnormés.L'exemplefonda ment aldesespaces defonctionsyest trait é.L'undespointsclefsestlaco mpr éhension duchangementinduitsurlatopolog ieparlad imensio ninfinie(casnotammentdesespacesde fonctions).

Lethéorèmed'Ascoliquido nneuncritèredecompacitép ourlespar tiesdesespacesdefoncti onscontinuesestuneillustrat iondes dicultésquisurgi ssentdansl ecadredeladimensioninfinie.Lechap itre3estconsacréàlanotiond edu alité.Bi enquebref,ilestfondamen tal .Lanotiondedualitéest àlabas edelathéoriedesdistrib utions ,qu iarévo lutionnél'an alyseàl'oréedelaseconde moitié duXXièm esiècle.Cettethéori eseraétudiéeauxchapi tre8Ou treleconcept d'applicatio nlinéairetransposée,onexpliquedanscecha pitrelaprocéduredited'identificationduduald'unespacedeBanachàuna utreesp acedeBanachai nsiqu'unenotionaaibliedelaconvergence quiestd éfinieda nslecadreduduald'unesp acedeBanach :laconv ergencedite"faibleétoile".Lechap itre4estunclassique:ilestco nsa créàl' étudedes espacesdeHilbertquisontuneextensionàladimensionin fini edesespa ceseuclidiens.Lechap itre5estconsacréàl'étudedeses paces depuis sancepièmeintégra leparrapportàun emesure.O nrappellesansdémonst ratio nlesrésultatsfondamentau xdelathéoried e5l'intégration.Lanotionfondamentaledeconvol utiond esfonctionsestdéfinieetét udiée,puisappliquéeàlathéoriedel'ap pro ximat ion.Lechap itre6estconsacréàl'étudedup rob lèmedit deDirichletdansund oma ineborné.L'objectifdecechapitreestd edémon trer quepourtoutefonctionfdecarré intégrablesu runouver t!connexebornédeRd,il existeu neuniquesoluti onudansunespacefon ctionnelquel'ondéfi nira(l'espaced itH10)etap peléespacedeSobol ev)telleque,enu nsensél argi,onaitdj=12uxj2=fettel quelaf onctionusoitnullesur lafrontièredel'o uvert!.On trouv elasolutionencherchantsilaborneinférieur e(surl 'ensembl edesfonctionscont inûmentdérivablesur!etàsupportcompactdans!)de lafoncti onu"!#dj=1uxj2dx!f(x)u(x)dx.estattei nte.Nousverronsàl'oeuvr ebeaucoupdecon ceptsetderésultatsétab lis précédemment.Onytro uve engermebeaucoupdesidéesd ela théoriedesdist ributionsétudiéeauc hapitr e8Lechap itre7estconsacréàl'étudedel atr ansform éedeFouriersurl'espa ceRddesfonctionsintégrablesetàpl usieursdecesappications.Fondam enta l,ce chapitreestcrucialpourlesdeuxsui vants.Lechap itre8estconsacréàlaprésenta tio ndelat héoriedesdistributions dit estempérées .Lechoi xdeneprésenterquecet tethé orieetn onlathéoriegénéraled esdistribu tionstient àunevolont édesimplicité.L'idéefond amental eestquelorsquel'onsaitdéfini runeopérationsurlesfoncti onstrès régulièresettrèsdécroissant es(parexempl esurl'espacedeSchwartz) ,onsaitparduali téladéfini rsurl'espacedesdistribu tions tempéréesquigénérali selesfoncti onsetquicontien tdesobjettrèssingulier s.Cecha pitreestbi ensûrill ustréd'exemplesquidoiventêtreconnuset maîtriséssansqu oicet tethéorienepeutêtrenicompri seetniappliqu ée.Ilseconclu tpardeuxapplicati ons:ladém onstratio ndufaitquelatransforméedeHilbertet,àun econstante près,uneisométriedeL2(R)etpa rlarésolu tionexp licited'uneéquationdiérentiellesurR.

6) Chapitre1EspacesmétriquesIntroductionCech apitrecondensedesrésultatsd ebasesurlesespacesmétri ques.L apremièresectionprésentelanotiontrès intuit iveetnaturellededis tanceetmont recommentellepermetunetrèsgrandegénéralisatio ndesnotions(familièresdanslescasréeloucompl exe)desu iteconvergenteetde fonctio nscontinues.Cettenotiondedi stancepermetaussidedéfinirles notionsab straitesd'ouvertsetdefermésquisontut ili séscon stammentena nalysefonct ionnelle.Dansledeuxième section, onintroduitlanoti ond'espacecomplet,esp acedans lequeltoutesuitedeCauchyconv erge.Cette notionestfondamen tale:cesontdanscesesp acesquel'onpeutdémont rerquedessuitesconvergentsa nsavoira priori aucuneidéesurlal imite.Ils'agitlàd'un outilfondamen taletd'usagetrès fréquentenanalysepourdémontrerdesthéo rèmesd'existence.LethéorèmedeCauch y-Lips chitzenestl'unedesillus tratio ns.Danslatroisi èmesectio n,onintroduitleconceptd'esp acecompact.Lapratiqu edel'a na-lysefonctionnel lenécessitededépasserlareprésentation élémentairedescompactsd anslesespacesRNL'ensembledecechapitreestas sezabst rai t.Lesexemples,illustrations etappli cationsdedesnoti onsfondamentalesprésentéesd anscechapitreserontfréquentesdansla suiteducours.1.

1) Définition desespacesmétriquesDéfinition1.1.1.SoitXunensemb le,onappelledistance surXtouteapplication ddeX$XdansRtellequed(x,y)=0%&x=yd(x,y)=d(y,x)d(x,y)'d(x,z)+d(z,y)Lecoupl e(X,d)estappel éunespacemétrique.Quelquesexemples- Pr enonsX=Retd(x,y)=|x!y|.Cela définitu nespacemétrique.7- Pr enonsX=RNetch oisissonslesdiérentesdistances suivantes:de(x,y)défNj=1(xj!yj2%12d(x,y)déf=max1#j#N|xj!yjd1(x,y)défNj=1|xj!yj- Pl usgénéralement,co nsidéronsunefamillefinie(Xj,dj1#j#Nd'espacesmétriques.OnposeX=Nj=1Xj.On définitDX$X!#R(x,x)"!#max1#j#Ndj(xj,yjetD1X$X!#R(x,xNj=1dj(xj,yj(1.1)Cesdeu xapplicati onsdéfinissentdesdistancessurX.- Pr enonsànouveauX=R,con sidéronsuneapplicationinjective fdeRdansRetdéfinissonsdf(x,y)=|f(x)!f(y)|.L'applicationdfestuned istancesu rX.Commelemontre l'exercice suivant,onpeutdéfini runedistancesurl'es pacedessuitesd'unespacemétr ique.Exercice1.1.1 .Soit(X,d)uneespacemét riqueet(ann$Nunesuited eréelsstrictementpositifstellequen$NanOncons idèrel'ensembleXNdessuit esd'élémentsdeX.On définita lorsDXN$XN!#R(x,y)"!#n$Nminan,d(x(n),y(n))L'applicationDestuned istancesu rXNDéfinition1.1.2.Soient(X,d)unespace métrique,xunpoin tdeXet"unréelst rictemen tpositif.Onappelleboule ouverte (resp.fermée)decentrexetde rayon ",etl 'o nnoteB(x,")(resp.Bf(x,"))l' ensembledespointsydeXtelsqued(x,y)<"(resp.d(x,y)'").Lanoti ondedistancepermetde définird emanièretrèssimpleetgénér ale,leconceptdelimited'unesuiteet celuidefonctionconti nue.Définition1.1.3(convergencedessuites).Soient(xnn$Nunesuited 'élémentsd'unespacemétrique(X,d)et#unpoin tdeX.Onditquelasuite(xnn$Nconvergevers#sietseul ement si)$>0,*n0/n+n0=&d(xn8Exercice1.1.2.

Onconsi dèreunespacemétrique(X,d)etla distan ceDadéfinitsurXNàl' exercice1.1.1.Unesuit e(xpp$Nd'élémentsdeXNconvergeversxausensd eDasietseulementsi)n,N,limp%"d(xp(n),x(n))=0 .Définition1.1.4(continuitédesfonctions).Soient(X,d)et(Y,%)deuxespacesm étriques.Onconsi dèreunefonctionfdeXdansYetun pointx0deX.La fonction festconti nueenx0sietseul ement si)$>0,*">0/d(x,x0)<"=&%(f(x),f(x0Proposition1.1.1(compositiondesfonctionscontinues).Soient(X,d),(Y,%)et(Z,&)troisespacesmétriques, fetgdeuxfonctio nsrespectivementdeXdansYetde YdansZ.Soitx0unpoin tdeXtelquefsoitcontinue enx0etglesoit enf(x0).Al orslafonctiong-festcontinueenx0Démonstration.Lafoncti ongétantcontinue enf(x0),ona)$>0,*">0/%(y,f(x0))<"=&&(g(y),(g-f)(x0Lafoncti onfétantcontinue enx0,ona*'>0/d(x,x0)<'=&%(f(x),f(x0Leréel'étantainsicho isipourchaque$,on endéduit alo rsque*'>0/d(x,x0)<'=&&(g-f(x),(g-f)(x0Cecicon clueladémonstrat ion.!Proposition1.1.2(suiteetfonctionscont inu es).Soient(X,d)et(Y,%)deuxespacesm é-triques,funefonctio ndeXdansYet(xnn$Nunesuited 'élémentsdeX.Onsupposeque(xnn$Nconvergevers#etqu elafonction festconti nueen#.Al orslasuited'élémen tsdeYdéfiniepar(f(xnn$Nconvergeversf(#).Ladémon strationdecettepropositionestanalogueà celled elapropos itionprécédenteetestlais séeenexerciceaulecteur.Définition1.1.5(Intérieuretadhérence,ouvertetferm é).Soit(X,d)unespa cemétriqueetAuneparti equelconquedeX.- On appelle intérieurdeAetl' onnoteAl'ensembledespointsxdeXtelsqu'ilex isteuneboule ouverteB(x,")(avec">0)in clusedansA.- On appell eadhérencedeAetl' onnoteAl'ensembledespointsxdeXtelsque,pou rtoutebouleouvert eB(x,")(avec">0),l'in tersectiondeB(x,")avecAsoitnonvide.- OnditqueAestdense dansXsietseul ement siA=X.- OnditqueAestouver tsietseulementsiA=A.- OnditqueAestfermé sietseulementsiA=A.RemarqueIlestcla ird'ap rèsladéfinitio nqueA.A.A.Exercice1.1.3.

SoitAunepartie finied'unespacemétriq ue(X,d).AlorsA=A.

9) Proposition1.1.3.L'intérieurd'unebouleouvertees telle-même.L'adhéren ced'unebouleferméeestelle-m ême.Démonstration.Soityunpoin tdelabouleouver teB(x,"),con sidéronslabouleouvertedecentreyetde rayon"!d(x,y)(quiestunnomb restri ctement positif).D'aprèsl'i négalitétriangulaire,onad(x,z)'d(x,y)+d(y,z)0,B(x,")/Ac0=1,cequ isignifie exactementquexappartientàl'adhérenceducomplém enta iredeA.Unpointxappartientà(A)csietseul ement si*">0,B(x,")/A=1,c'est-à-direB(x,").Ac,ceq uis ignifieexa ctementquexappartientà(Ac).Lapropositionestdémon trée.!RemarqueD'aprèslapropositio n1.1. 4,lecomplémentaired'unouvertestunferméetréciproquement.Proposition1.1.5.SoitAunepartie d'unespacemétrique(X,d).UnpointxdeXappar-tientàAsietseul ement siilexisteunesuite (ann$Nd'élémentsdeAtelllequelimn%"an=x.10Démonstration.Supposonsquexsoitlimite d'unesuite(ann$Nd'élémentsdeA.Po urtoutréelstrictementpositif",il existeu nentiern0telquexn0appartienneàB(x,")cequ iimpliqu equeB(x,")/A0=1.Doncx,A.Réciproquement,supposonsquex,A.Al ors,pourtoutentierst rictementposi tifn,ilexisteunélémentandeXtelquean,A/B(x,n'1Soit(ann$Nlasuit eainsidéfinie.Lasu ite(ann$Nvérified(an,x)'1nLasuite (ann$Nconvergedoncversxetla propo sitionestdémontrée.!Proposition1.1.6.Touteréuniond'ou vertsenestun.Toutein tersectionfinied'ouvertsenestun.T outeinters ectiondefermésenestu n.Touteréunionfiniedefermés enestun.Démonstration.Soit(Uunefamille quelconqued'ouvertset xunpoin tdeUdéfUSoit(,"telquex,U.CommeUestouver t(cequisignifieég alàson intérieur),*">0/B(x,").U.Uetdo ncUestunou vert.So itU=Nj=1oùlesUjsontdesouvert s.Pour toutjdans{1,···N},ilexisteunréelstrictem entposi tif"jtelqueB(x,"j).Uj.Soit"déf=min{"j,j,{1,···N}}.Pourtoutj,la bouleo uverteB(x,")estinclu sedansUjetdo ncdansl'inte rsectionU.!RemarquePourunensemble X,on consid ère#unepart iedeP(X)l'ensembledessous-ensemblesdeXtelleque:- L' ensemblevideetXappartiennentà#,- Si(Uj1#j#Nestunefa millefinie d'élémentsde#,alorsNj=1Ujappartientà#,- Si(Uestunefa millequelco nqued'élémentsde#,alorsappartientà#.Cecidéfi nitcequel'onappel le unetopolo giesurX,les éléments de#étantpardéfinit ionlesouver tsdeX,les fermésétan tpardéfinit ionlescomplém entairesdeso uverts.Commelemont relapropositionsu ivante, lesnotionsdesuiteconvergenteetd'appli cationcontinuepeuventsedéfinirenter med'ou verts.Proposition1.1.7.Soit(X,d)unespace métrique.Soit (xnn$Nd'élémentsdeXetxunélémentdeX.Lasuite(xnn$Nconvergeversxsietseu lemen tsipourtoutouvertUdeXcontenantx,il existen0telque)n+n0,xn,U.Soient(Y,%)unespace métrique,funefonctio ndeXdansYetx0unélément deX.Lafonctionfestconti nueenx0sietseul ement sipourtoutouvertVdeYcontenantf(x0),ilexisteunouvertUdeXcontenantx0telquef(U).V.11Ladémo nstrationdecettepropositionestunexerciceformat eurviv ementconseill é.Théorème1.1.1(Caractérisationdesapplicationscontinues).Soitfuneapplica tionentredeuxespacesmét riques(X,d)et(Y,%).Le stroisas sertionssuivantes sontéquivalentes.- L' applicationfestconti nueentoutpointdeX,- l' imageréciproqued'unouv ertestunouvert,- l' imageréciproqued'unfermé estunfermé.Démonstration.SupposonsfcontinueentoutpointdeXetcon sidéronsunouvertVde(Y,%)etun point xdef'1(V).L' ensembleVétantouvert,il existepardéfinition unréelst rictementpositif$0telqueB(f(x),$0).U.La fonction fétantcontinueen x,*">0,f(B(x,")).B(f(x),$0AinsidoncB(x,").f'10f(B(x),")1.f'1(B(f(x),$0)).f'1(V).Réciproquement,soitx0unpoin tdeX.Pourtout$>0,labouleB(f(x0),$)estunou vertde(Y,%).Pa rhypothès e,f'1(B(f(x0),$))estunou vertde (X,d).Do ncilexiste"strictementpositiftelqueB(x0")soitinclusdan sf'1(B(f(x0),$))etdo ncquef(B(x0")).f0f'1(B(f(x01.B(f(x0L'équivalenceentrelespointsdeuxettrois résultentdufait queles complémentairesdesouvert ssontlesfermés(etr éciproqu ement)etquef'1(V)={x,X/f(x),V}={x,X/f(x),Vcc=(f'1(VccLethéor èmeestainsidémontré.!Onpeuts 'interrog ersurleseetsd'u nchangementde distancesurlespropriétésd'unespacemétrique.Définition1.1.6.SoitXunensemb le,onconsidèredeuxdi stancesdet%surX.Onditquelesdeuxd istancesson ttopologiquementéquival entessietseulem entsil'applicationIdestcontinuede(X,d)dans(X,%)etde (X,%)dans(X,d).RemarqueLesouver tsassociésàdeuxdist ancestopologiquementéqu iv alentessontlesmêmes;ainsido nclesfonctionsconti nuesetlessuites convergen tessontlesmêmes.Proposition1.1.8.SoientXunensemb leetdet%deuxdista ncessurX.Les propri étéssuivantessontalorssatisfa ites.Lesdist ancesdet%sonttopologi quementéquivalentessietseulementsi)x,X,)$>0,*)>0/)y,Y,d(x,y)<)=&%(x,y)<$et%(x,y)<)=&d(x,y)<$.Ladémon strationdecettepropositionn'estqu'une applica tionimmédi atedesdéfinitions;elleestlais séeaulect eur.12Définition1.1.7.SoientAunepartie d'unespacemétrique(X,d)etxunpoin tdeX.Onappelledistancedupoint xàl' ensembleAlaquan titéd(x,A)déf=infa$Ad(x,a).Exercice1.1.4.

DémontrezqueAestl'ens embledespointsxdeXtelsqued(x,A)=0.Proposition1.1.9.SoitAunepartie d'unespacemétrique(X,d).La fonctiondA2X!#Rx"!#d(x,A)estlips chitziennederapport1,c' est-à-direqued(x,A)!d(x,A)'d(x,xDémonstration.D'aprèsl'inégalitét riangulaire,ona,pourtout(x,y)deX2etto utpointadeA,d(x,a)'d(x,y)+d(y,a).Laborn einférieureétantun minorant,nousavons,po urtout(x,y)deX2etto utpointadeA,d(x,A)'d(x,y)+d(y,a)etdo ncd(x,A)!d(x,y)'d(y,a).Laborn einférieureétantle plusgranddesminorants, nousendéduiso nsqued(x,A)!d(x,y)'d(y,A)etdo ncd(x,A)!d(y,A)'d(x,y).D'oùlapropos itionen permutantlerôledexety.!Nousallonsma intenantintroduire lanotiondesousespacesmétriques.

Soit(X,d)unespacemétriqueetAunepart iedeX,il estnat ureldeco nsidèrerl'espacemétriq ue(A,d|A(A).Nousavonslapropriét ésuiva nte.Proposition1.1.10.Soit(X,d)unespace métriqueetAunepart iedeX.AlorsunepartieBdeAestunou vert(res p.unfermé)del'espa cemétrique(A,d|A(A)sietseul ement siilexisteunepartie ouverte(resp.fermée)3BdeXtelqueB=3B/A.Démonstration.Nousn'allons traiterquelecasdesouverts,cel uidesferméss'endéduisan tparpassa geaucomplémentaire1.Soit3Bunouver tdeX,dém ontronsque3B/Aestunou vertde(A,dA(A).Soita0unpoin tde3B/A.Com me3Bestunou vertde X,il existeu nebouleouverte(pourl'espacem étrique(X,d)telqueB(a03B.Parintersect ion,onendéduitqueB(a0")/Aestinclu sdansB.MaisB(a0")/Aestexactementl'ensembledesadeAtelsqued(a0,a)<".DoncBestunou vertdel 'espacemétrique(A,d|A(ARéciproquement,soitBunouver tdel'espacemétriq ue(A,d|A(A).PourtoutadansB,ilexisteunréelstrictem entposi tif"atelqueBA(a,"a).AavecBA(a,"a)={a,A/d(a,a1.Écri reendétaillecasdes fermés estunexercicefortem entre commandé13Posons3Bdéfa$ABX(a,")quiestuno uvertcom meréuni ond'ensembleouver ts.Vuquel'onaBA(a,")=BX(a,")/A,ona3B/A=Betla propos itionestdémontrée.!Pourconclurecett esectionintroductive surlesespaces métriques,définiss onslanotiondediamètredansunespacemétri que.Définition1.1.8.Soit(X,d)unespace métrique.Ondit qu'unepartieAdeXestdedi amètrefiniesietseulemen tsiilex is teunréelstrictementposi tifCtelque)(a,a),A2,d(a,a)'C.LorsqueAestdedi amètrefi ni,ondéfinitladiamètreco mme